2.3 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 第1课时 一元二次方程和一元二次不等式 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 D C D B A Thank you for watching 第1页 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 学习 目标 1. 会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数． 2. 能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 类型1　可转化为的一元二次不等式的不等式解法 　(课本P52例1、例2、例3补充)解下列不等式： (1) x2－|x|－2＜0；　　　　(2) 2x－eq \r(x)＞1. 【解答】 (1) 令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2＜0，即(t－2)(t＋1)＜0.因为t＝|x|≥0，所以t－2＜0，所以t＜2，所以|x|＜2，得－2＜x＜2.即原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}． (2) 设t＝eq \r(x)≥0，则不等式2x－eq \r(x)＞1可化为2t2－t－1＞0，解得t＞1或t＜－eq \f(1,2)(舍去)，即eq \r(x)＞1，解得x＞1.即原不等式的解集为{x|x＞1}． 变式　解关于x的不等式：x4－x2－2≥0. 【解答】 由题意可得x4－x2－2＝(x2－2)(x2＋1)≥0，解得x2≥2，解得x≤－eq \r(2)或x≥eq \r(2)，即不等式的解集为{x|x≤－eq \r(2)或x≥eq \r(2)}． 【规律总结】 对于求解非一元二次不等式时，要注意与一元二次不等式的联系，求解步骤是：换元转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式解题步骤求解即可． 类型2　三个“二次”间的关系及应用 　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3<x<2}． (1) 求二次函数的解析式； (2) 当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． 【解答】 (1) 因为y>0的解集为{x|－3<x<2}， 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3＋2＝－\f(b－8,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))所以y＝－3x2－3x＋18. (2) 因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下．要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－eq \f(25,12).即c的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|c≤－\f(25,12))). 变式　已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)． (1) 若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值； (2) 若不等式的解集是R，求k的取值范围； (3) 若不等式的解集为∅，求k的取值范围． 【解答】 (1) 因为不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)的解集是{x|x<－3或x>－2}，所以k<0且－3和－2是方程kx2－2x＋6k＝0的实数根．由根与系数的关系，得(－3)＋(－2)＝eq \f(2,k)，所以k＝－eq \f(2,5). (2) 因为不等式的解集是R，所以Δ＝4－24k2<0且k<0，解得k<－eq \f(\r(,6),6)，即k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k|k<－\f(\r(,6),6))). (3) 由不等式的解集为∅，得Δ＝4－24k2≤0且k>0，解得k≥eq \f(\r(,6),6)，即k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k|k≥\f(\r(,6),6))). 【规律总结】 三个“二次”之间的关系． (1) 三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2) 讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 类型3　含参数的一元二次不等式的解法 　解关于x的不等式：2x2＋ax－a≤0. 【解答】 由题知Δ＝a2＋8a. ①当Δ>0时，即a2＋8a>0，解得a>0或a<－8，方程2x2＋ax－a＝0有两个不相等的实数根，x1＝eq \f(－