1.4 第2课时 充要条件-（课件）2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章　集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 第1页 第一章　集合与常用逻辑用语 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 第2课时 充要条件 第1页 第一章　集合与常用逻辑用语 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 素养养成·学透教材 C CD 课堂评价·及时反馈 A C B A D Thank you for watching 第1页 第一章　集合与常用逻辑用语 5A新学案 数学 · 必修第一册(基础版) 学习 目标 1. 理解充要条件的概念． 2. 会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件、充要条件. 类型1　充要条件的判断 　(课本P21例3补充)(1) 若a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( ) A. 充分不必要条件　　　　　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 (2) (多选)对于任意实数a，b，c，下列选项中正确的是( ) A. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B. “a>b”是“a2>b2”的充分条件 C. “a<6”是“a<4”的必要条件 D. “a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 【解析】 对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立；当ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错．对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2<b2；若a＝－2，b＝1时，a2>b2，但a<b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错．对于C，因为“a<4 ”时一定有“a<6”成立，所以“a<6”是“a<4”的必要条件，C正确．对于D，“a＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D正确． 【规律总结】 充要条件的判断主要有以下两种方法：(1) 定义法：直接利用充要条件的定义判断．(2) 利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若q⊆p，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．在解题时常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反过来也成立”……准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的． 类型2　充要条件的证明 　(课本P22例4补充)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 【解答】 ①充分性：因为0<m<eq \f(1,3)，所以方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－4×m×3>0，且两根积为eq \f(3,m)>0，所以方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根． ②必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，设两根分别为x1，x2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,x1·x2＝\f(3,m)>0，))解得0<m<eq \f(1,3).综合①②可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq \f(1,3). 变式　求证： a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是△ABC为等边三角形(这里a，b，c是△ABC的三条边)． 【解答】 充分性：如果△ABC为等边三角形，那么a＝b＝c，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca. 必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.命题得证． 类型3　充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：4－m≤x≤4＋m(m>0)，若p是q的充要条件，求实数m的值． 【解答】 因为p：－2≤x≤10，q：4－m≤x≤4＋m(m>0)，且p是q的充要条件，记A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|4－m≤x≤4＋m(m>0)}，所以集合A＝B，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－m＝－2，,4＋m＝10))⇒m＝6，所以实数m的值为6. 变式　已知p：x<－2或x>3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解答】 设A＝{x|x<－2或x>3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(m,4)))，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以－eq \f(m,4)≤－2，即m≥8，所以实数m的取值范围为{m|m≥8}． 1. “a＞0”是“|a|＞0”的( ) A. 充