2．2　高效课时2　充要条件（课件）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

2022年·数学必修第一册（苏教A） 必修第一册 q⇒p 充分且必要 p⇔q 充要 课下限时巩固练（八） 高效课时2/充要条件 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点　充要条件 【情境导入】 问题：(1)命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”是真命题吗？ (2)写出上面命题的逆命题，并判断真假； (3)设p：三角形三条边相等，q：三角形为等边三角形，p是q的充分条件 吗？p是q的必要条件吗？ 提示：(1)真命题． (2)逆命题：等边三角形的三条边都相等，是真命题． (3)p是q的充分条件，p也是q的必要条件． 【知识概括】 (1) 如果p⇒q，且 ，那么称p是q的 条件，简称为p是q 的 条件，也称q的充要条件是p. 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作 ，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 ①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s； ②如果p⇔q，q⇔s，则p⇔s； (2)若p⇒q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【要点解读】 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． (3)一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件． [示例]　(教材P30例3改编)△ABC的三个内角为A，B，C，则“B＝60°”是“A＋C＝120°”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：△ABC的三个内角为A，B，C，则∠A＋∠B＋∠C＝π＝180°． 若B＝60°，则一定有A＋C＝120°；反之，当A＋C＝120°，一定有B ＝60°. 故B＝60°是A＋C＝120°的充要条件． 答案：B　 [对点练]　(2022·天津河西高一检测)设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q，故p是q的充要条件． 答案：C　 　能力提升区——注重题型技法阐释 题型一 充要条件的判断 充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． [例1](多选)(2022·山东沂水高一检测)下列选项中，p是q的充要条件的是 (　　 ) A．p：xy>0，q：x>0，y>0 B．p：A∪B＝A，q：B⊆A C．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等 D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分 解析：对于A，由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误； 对于B，由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A，则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确； 对于C，三角形是等腰三角形⇔三角形存在两角相等，故p是q的充要条件，故C正确； 对于D，四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误． 答案：BC [即时练]　1.(2022·江西宜春高一检测)下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______． ①同位角相等；②内错角相等； ③同旁内角互补；④同旁内角相等． 解析：由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论． 所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③． 答案：①②③ 2．(多选)(2022·湖南长沙一中高一检测)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有(　　 ) A．A∩B＝A B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∩B＝∅ C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))