证明线面平行、面面平行 讲义-2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.9 证明线面平行、面面平行 知识与方法 1.证明线面平行的方法. （1）线面平行判定定理：如图l，平面外的直线a和平面内的直线b平行，则直线a与平面平行. （2）先证明面面平行，再证线面平行：如图2，平面与平面平行，则内的任意直线a都与平行. （3）向量法（理科）：如图3，通过证明直线a的方向向量s和平面的法向量n垂直来证明a和平行. 2.证明线线平行的方法：如果我们选择线面平行的判定定理来证线面平行，那么就得先证线线平行.在高考题中有哪些常用的证明线线平行的方法呢? （1）中位线：如图4，的中位线.构造中位线证明线线平行，关键是抓住中点，题干有时会直接给出中点，有时是隐含的，如平行四边形对角线互相平分，则对角线的交点为对角线中点. （2）平行四边形：如图5，平行四边形两组对边分别平行，所以很多证明线面平行的真题也可以通过构造平行四边形来证明线线平行，进而得出线面平行. （3）等分点：如图6，在中，点D，E分别在，上，若，则. 3.证明面面平行的方法：用面面平行的判定定理. 如图7，若平面内有两条相交直线a和b均与平面平行，则和平行. 提醒：由于本节的题目是截取真题的一个小问，所以题干所给条件可能会有多余，这些条件是用于后续小问的. 题组一 1.（2020·江苏·15（I）·★★） 在三棱柱中，，平面，E，F分别是，的中点.求证：平面. 2.（★★） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.设G，H分别为，的中点，求证：平面. 3.（★★） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点.证明：平面. 4.（★★） 如图，直三棱柱中，D，E分别是，的中点，. 证明：平面. 题组二 5.（★★） 如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，D是延长线上一点，且. 证明：平面. 6.（★★） 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 7.（★★） 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，E，F分别是，的中点.求证：平面. 8.（★★） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F分别是棱，的中点.证明：平面. 9.（★★） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别是，的中点.求证：平面. 题组三 10.（★★★） 如图，在三棱锥中，平面平面，，.过A作，垂足为F，E，G分别是棱，的中点.求证：平面平面. 11.（★★★） 如图，四棱柱的底面是正方形，O为底面中心，平面，.证明：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.9 证明线面平行、面面平行 知识与方法 1.证明线面平行的方法. （1）线面平行判定定理：如图l，平面外的直线a和平面内的直线b平行，则直线a与平面平行. （2）先证明面面平行，再证线面平行：如图2，平面与平面平行，则内的任意直线a都与平行. （3）向量法（理科）：如图3，通过证明直线a的方向向量s和平面的法向量n垂直来证明a和平行. 2.证明线线平行的方法：如果我们选择线面平行的判定定理来证线面平行，那么就得先证线线平行.在高考题中有哪些常用的证明线线平行的方法呢? （1）中位线：如图4，的中位线.构造中位线证明线线平行，关键是抓住中点，题干有时会直接给出中点，有时是隐含的，如平行四边形对角线互相平分，则对角线的交点为对角线中点. （2）平行四边形：如图5，平行四边形两组对边分别平行，所以很多证明线面平行的真题也可以通过构造平行四边形来证明线线平行，进而得出线面平行. （3）等分点：如图6，在中，点D，E分别在，上，若，则. 3.证明面面平行的方法：用面面平行的判定定理. 如图7，若平面内有两条相交直线a和b均与平面平行，则和平行. 提醒：由于本节的题目是截取真题的一个小问，所以题干所给条件可能会有多余，这些条件是用于后续小问的. 题组一 1.（2020·江苏·15（I）·★★） 在三棱柱中，，平面，E，F分别是，的中点.求证：平面. 证明：因为E，F分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面 2.（★★） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.设G，H分别为，的中点，求证：平面. 证明：如图，连接. 因为四边形为平行四边形， 所以与互相平分，所以H为的中点. 又因为G为的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【提炼】证明线面平行，关键是寻找线线平行，通过构造三角形中位线来得出线线平行是常用的方法. 3.（★★） 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点.证明：平面. 证明：如图，连接交于点O，连接. 因为四边形为矩形，所以O为的中点. 又因为E为的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 4.（★★） 如图，直三棱柱中，D，E分别是，的中点，. 证明：平面. 证明：