证明线面垂直、面面垂直 讲义——2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.11 证明线面垂直、面面垂直 知识与方法 1.线面垂直的判定定理：如图1，若直线l垂直于平面内的两条相交直线a和b，则. 2.面面垂直的判定定理：如图2，若平面通过了平面的垂线，则. 3.可以看到，证明面面垂直，也得先证明线面垂直，而证明线面垂直的关键又是证明线线垂直.线线垂直包括异面直线垂直和共面直线垂直两种情况，前者会在下一个小节专门讲解，那么高考中证明共面直线垂直有哪些常用方法呢? （1）等腰三角形：等腰三角形中线垂直于底边.这是最常见的情形之一，当题干出现了边相等的条件，要想到取中点，中线与底边垂直.如图3，在中，若，且D是的中点，则. （2）菱形：菱形的对角线互相垂直.当题干出现菱形时，可以连接对角线，构造一个线线垂直. （3）勾股定理：若题干给的是长度类条件，则可以通过验证某个三角形的三边长满足勾股定理来证垂直. （4）中线长：如图4，在中，D是的中点，若，则. 4.研究真题会发现，空间图形多种多样，但空间几何体中的一些基本图形单元是类似的，很多试题中都可以看到它们的“影子”，熟悉这些基本图形单元中的垂直关系及其证明方法，对解题是很有帮助的，下面归纳几个常见的基本图形： （1）含60°或120°的菱形：如图5，四边形为菱形，，则除菱形本身对角线的垂直关系外，还可取的中点E，的中点F，得出，. （2）正方形：如图6，四边形为正方形，除正方形本身的邻边垂直，对角线垂直外，还可取的中点E，的中点F，得出 （3）特殊矩形：如图7，在矩形中，，E是的中点，则. （4）特殊直角梯形：如图8，四边形为直角梯形，，，，则除直角梯形本身的两个垂直关系外，还有. 提醒： （1）本节的题目是截取真题的一个小问，题干所给条件可能有些多余，这些条件是用于后续小问的. （2）当几何法难做的时候，也许向量法更简单. （3）本节部分题目答案中用了向量法，没学空间向量的文科同学忽略即可. 题组一 1.（★★★） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.求证：平面. 2.（★★★） 如图，在四面体中，O，E分别是，的中点，，.求证：平面. 3.（★★） 如图，在三棱锥中，平面，，，D，E分别为线段，上的点，且，.证明：平面. 4.（★★★） 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，O为的中点.证明：平面. 题组二 5.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E，F分别是，的中点.证明：平面. 6.（★★★★） 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点.求证：平面. 7.（★★★★） 如图，在正四棱柱中，，点E在上且.证明：平面. 题组三 8.（★★） 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，E，F分别是，的中点.求证：平面平面. 9.（★★） 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面平面. 10.（★★） 如图，在三棱锥中，底面，，D是的中点，且，（）.求证：平面平面. 11.（★★★） 如图，在长方体中，，，M是棱的中点. （I）求异面直线和所成角的正切值； （II）证明：平面平面. 12.（★★） 如图，棱柱的侧面是菱形，.证明：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.11 证明线面垂直、面面垂直 知识与方法 1.线面垂直的判定定理：如图1，若直线l垂直于平面内的两条相交直线a和b，则. 2.面面垂直的判定定理：如图2，若平面通过了平面的垂线，则. 3.可以看到，证明面面垂直，也得先证明线面垂直，而证明线面垂直的关键又是证明线线垂直.线线垂直包括异面直线垂直和共面直线垂直两种情况，前者会在下一个小节专门讲解，那么高考中证明共面直线垂直有哪些常用方法呢? （1）等腰三角形：等腰三角形中线垂直于底边.这是最常见的情形之一，当题干出现了边相等的条件，要想到取中点，中线与底边垂直.如图3，在中，若，且D是的中点，则. （2）菱形：菱形的对角线互相垂直.当题干出现菱形时，可以连接对角线，构造一个线线垂直. （3）勾股定理：若题干给的是长度类条件，则可以通过验证某个三角形的三边长满足勾股定理来证垂直. （4）中线长：如图4，在中，D是的中点，若，则. 4.研究真题会发现，空间图形多种多样，但空间几何体中的一些基本图形单元是类似的，很多试题中都可以看到它们的“影子”，熟悉这些基本图形单元中的垂直关系及其证明方法，对解题是很有帮助的，下面归纳几个常见的基本图形： （1）含60°或120°的菱形：如图5，四边形为菱形，，则除菱形本身对角线的垂直关系外，还可取的中点E，的中点F，得出，. （2）正方形：如图6，四边形为正方形，除正方形本身的邻边垂直，对角线垂直外，还可取的中点E，的中点F，得出 （3）特殊矩形：如图7，在矩形中，，E是的中点，则. （4）特殊直角梯形：如图8，四边形为直角梯形，，，，则除