线线角计算 讲义——2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.14 线线角计算 知识与方法 线线角文、理科都有可能考，解题的方法有几何法、向量法两种，其中文科不学向量法，本节答案中涉及向量法的内容，文科生忽略即可. 1.几何法：将异面直线通过平移使其相交，利用解三角形的知识计算线线角． 2.向量法：设，所成的角为，方向向量分别为和，则 提醒：线线角范围是，所以其余弦值一定不能取负数. 题组一 1.（★★） 已知正四面体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2.（★★） 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 3.（2021·全国乙卷·理·5·★★） 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4.（★★） 已知正方体中，E，F分别为，的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_____. 5.（★★） 在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 （ ） A. B. C. D. 6.（★★） 如图，在正方体中，M，N分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角的大小是______. 题组二 7.（★★） 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8.（★★） 直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9.（★★★） 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10.（★★★★） 如图，三棱锥中，，，M，N分别为，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是_______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.14 线线角计算 知识与方法 线线角文、理科都有可能考，解题的方法有几何法、向量法两种，其中文科不学向量法，本节答案中涉及向量法的内容，文科生忽略即可. 1.几何法：将异面直线通过平移使其相交，利用解三角形的知识计算线线角． 2.向量法：设，所成的角为，方向向量分别为和，则 提醒：线线角范围是，所以其余弦值一定不能取负数. 题组一 1.（★★） 已知正四面体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，取的中点F，连接，，则. 设正四面体棱长为2，则，， 在中，，即异面直线与所成角的余弦值为. 【答案】B 【提炼】计算线线角，基本思路是平移成相交直线，而借助中位线平移是常用的方法. 2.（★★） 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】解法1：如图l，设M，N，P分别为所在棱的中点， 连接，，，，则，， 设，则可求得，， ， 在中，由余弦定理，，即，故异面直线与所成角等于60°. 解法2：将三棱柱补形为正方体，如图2，，因为为正三角形，所以，选C. 【答案】C 3.（2021·全国乙卷·理·5·★★） 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，易证，所以等于直线与所成的角，显然为正三角形，结合P为的中点知P也是的中点，所以. 【答案】D 4.（★★） 已知正方体中，E，F分别为，的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为_____. 【解析】解法1（几何法）：连接，则.设正方体棱长为2，则，所以，即异面直线与所成角的余弦值. 解法2（向量法）：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，故，.设直线与所成角为，则. 【答案】 5.（★★） 在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 （ ） A. B. C. D. 【解析】本题向量法也能做，只是别忘了最后求的是正切，得转换一下，不过几何法明显更简单.如图，连接.由知，即为异面直线与所成角，进一步可求得. 【答案】C 6.（★★） 如图，在正方体中，M，N分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角的大小是______. 【解析】解法1（几何法）：取的中点Q，连接，，，.设，则，，所以，，， .在中，，即，故异面直线与所成角为90°. 解法2（向量法）：以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.所以，，故.所以，即异面直线与所成角为90°. 【答案】90° 【提炼】几何法求异面直线所成角，核心是通过平移使其相交，而借助中位线平移是一种常用的方法. 题组二 7.（★★） 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】解法1（几何法）：如图，连接，以，为邻边作一个平行四边形，则可求得，，.在中，，即异面直线与所成角的余弦值为. 解法2（向量法）：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所