线面垂直、面面垂直的性质 讲义-2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.13 线面垂直、面面垂直的性质 知识与方法 1.线面垂直的性质定理：如图1，，. 2.面面垂直的性质定理；如图2，，，，. 提醒： （1）本节的题目是截取真题中的一个小问，题干所给条件可能有些多余，这些条件是用于后续小问的. （2）当题干给出了面面垂直时，可以利用面面垂直的性质定理得出线面垂直. 题组一 1.（★★） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点.求证：. 2.（★★） 如图，在四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：. 题组二 3.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 4.（★★★） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：平面. 5.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为，的中点. （I）求证：； （II）求证：平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.13 线面垂直、面面垂直的性质 知识与方法 1.线面垂直的性质定理：如图1，，. 2.面面垂直的性质定理；如图2，，，，. 提醒： （1）本节的题目是截取真题中的一个小问，题干所给条件可能有些多余，这些条件是用于后续小问的. （2）当题干给出了面面垂直时，可以利用面面垂直的性质定理得出线面垂直. 题组一 1.（★★） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点.求证：. 证明：因为为等边三角形，O为的中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 【提炼】题干给出了平面平面，这是识别用面面垂直的性质定理来证线面垂直的重要特征. 2.（★★） 如图，在四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：. 证明：由题意，得四边形为矩形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 又平面，所以. 题组二 3.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 证明：如图，取的中点O，连接. 因为为等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，平面，，所以平面. 4.（★★★） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.证明：平面. 证明：由题意得，，所以，. 又，所以. 在中，，即，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，且平面，平面，，所以平面. 5.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E，F分别为，的中点. （I）求证：； （II）求证：平面平面. 证明：（I）由题意，，E为的中点，所以. 又四边形为矩形，所以，故. （II）由（I）知，平面. 因为平面，所以. 又因为四边形为矩形，所以. 因为，平面，，所以平面. 又平面，所以， 因为，且，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 学科网（北京）股份有限公司 $