外接球与内切球 讲义-2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.6 外接球与内切球 知识与方法 1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法. （1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径. （2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过计算外接球半径. 2.设球的半径为R，有5个常用计算公式. （1）正方体外接球半径：，其中a为正方体棱长，如图1. （2）长方体外接球半径：，其中a，b，c分别为长方体的长、宽、高，如图2. （3）正四面体外接球半径，，其中a为正四面体棱长，如图3. （4）直三棱柱外接球半径：，其中r为底面外接圆半径，h为直三棱柱的高，如图4. （5）圆柱外接球半径：，其中r为底面圆半径，h为圆柱的母线长，如图5. 提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径. 题组一 1.（★★） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______. 2.（★★★） 如图，在等腰梯形中，，，E为中点，将与分别沿，向上折起，使点A，B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 3.（★★） 长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______. 4.（★★） 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 5.（★★） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6.（★★★） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为______cm2. 题组二 7.（★★★） 已知三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的半径为（ ） A. B. C. D. 8.（★★★） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______. 题组三 9.（★★★） 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10.（★★★） 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于______. 题组四 11.（★★★） 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 12.（★★★） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 13.（★★★） 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★） 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 题组五 15.（★★） 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 16.（★★★★） 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______. 题组六 17.（★★） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 18.（★★） 如图，圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是______. 19.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★） 已知圆锥的底面半径为l，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______. 20.（★★★★） 在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是（ ） A. B. C. D. 题组七 21.（★★★） 已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 22.（★★★） 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.6 外接球与内切球 知识与方法 1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法. （1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算