球的截面 讲义——2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

11.5 球的截面 知识与方法 用平面截球，所得截面是圆，截面过球心时截面圆叫做大圆，否则叫做小圆．这一模型解题抓住两点： 1.连接球心和截面圆圆心的直线垂直于截面，如图，圆所在平面. 2.设球心到截面距离为d，截面圆半径为r，球的半径为R，则. 题组一 1.（★★） 平面截球O所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 2.（★★★） 圆是以R为半径的球O的小圆，若圆的面积和球O的表面积S的比为，则圆心到球心O的距离与球O的半径的比_______. 题组二 3.（★★） Rt的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（ ） A.5 B.6 C.10 D.12 4.（★★） 已知球的表面积为，球面上有A，B，C三点，如果，则球心到平面的距离为（ ） A.1 B. C. D.2 5.（2020·新课标Ⅰ卷·理·10·★★★） 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.（2020·新课标Ⅱ卷·理·10·★★★） 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则点O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C.1 D. 7.（★★） 已知矩形的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，，则棱锥的体积为_______. 8.（★★★） 设A，B，C，D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球的半径的一半，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 题组三 9.（★★★） 已知H是球O的直径上一点，，平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_______. 10.（★★★） 已知三棱锥的所有顶点都在球O的表面上.是边长为1的正三角形，为球O的直径，且，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 11.（2020·新高考Ⅰ卷·16·★★★★） 已知直四棱柱的棱长均为2，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5 球的截面 知识与方法 用平面截球，所得截面是圆，截面过球心时截面圆叫做大圆，否则叫做小圆．这一模型解题抓住两点： 1.连接球心和截面圆圆心的直线垂直于截面，如图，圆所在平面. 2.设球心到截面距离为d，截面圆半径为r，球的半径为R，则. 题组一 1.（★★） 平面截球O所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】，则 【答案】B 【提炼】平面截球模型的等量关系是. 2.（★★★） 圆是以R为半径的球O的小圆，若圆的面积和球O的表面积S的比为，则圆心到球心O的距离与球O的半径的比_______. 【解析】设圆的半径为r，则，故，，即. 【答案】 题组二 3.（★★） Rt的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面的距离是（ ） A.5 B.6 C.10 D.12 【解析】两直角边的长分别为6和8斜边长为10截面半径，故球心到平面的距离. 【答案】D 【提炼】①直角三角形的外接圆半径r=斜边长的一半；②平面截球模型的等量关系是. 4.（★★） 已知球的表面积为，球面上有A，B，C三点，如果，则球心到平面的距离为（ ） A.1 B. C. D.2 【解析】如图，球的表面积，解得.，即，解得，故球心到平面的距离. 【答案】A 5.（2020·新课标Ⅰ卷·理·10·★★★） 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，圆的面积为，则圆的半径.在中，由正弦定理得，故，则，所以，即球O的表面积. 【答案】A 6.（2020·新课标Ⅱ卷·理·10·★★★） 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则点O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C.1 D. 【解析】如图，由题意知，是面积为的等边三角形，设其边长为x，则，解得，所以其外接圆半径.由球O的表面积为，得，故点O到平面的距离. 【答案】C 【提炼】正三角形的外接圆半径等于边长的倍，等于高的倍. 7.（★★） 已知矩形的顶点都在半径为4的球O的球面上，且，，则棱锥的体积为_______. 【解析】如图，为矩形，由题意，得，，则，解得，故，所以棱锥的体积为. 【答案】 8.（★★★） 设A，B，C，D是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球的半径的一半，则球的体积是（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，由题意，得是正方形，其外接圆是球的截