易错点12 直线及直线与圆位置关系-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题12 解析几何 易错分析 一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错 1． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离． 【错解】直线方程y=3x+5可化为3x―y+5=0， 则直线3x―y+5=0与6x―2y+3=0间的距离． 【错因】6x―2y+10=0与6x―2y+3=0中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且x、y的系数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变形． 【正解】 经变形得两条平行直线的方程为6x―2y+10=0和6x―2y+3=0， 故它们之间的距离为 ． 二、有关截距相等问题忽略截距为零致错 2、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 【错解】因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为, 则,所以,故直线l的方程为,即.【答案】。 【错因】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况. 【正解】若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为； 若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以, 故直线l的方程为,即. 综上，直线l的方程为或. 3．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________． 【错解】设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8， 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：x－y＋8＝0 【错因】未考虑直线过原点的情况。 【正解】①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0； ②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a， 代入点(－3,5)，得a＝－8， 即直线方程为x－y＋8＝0. 综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0. 三、已知两直线平行求参数的值未验证致错 4．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 【错解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 【错因】未验证a的值会不会使两直线平行。 【正解】令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，两条直线的方程都为x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去； 当a＝3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行． ∴a的值为3. 四、未讨论参数的取值致错 5.已知直线：，：，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【错解】C，因为，则，即，解得， 所以“”是“或”的充要条件. 【错因】未考虑的情况， 【正解】A，（1）当时， 因为，则，即，解得， （2）当时， 直线的方程分别为，显然， 由上可知，若，则或， 所以“”是“或”的充分不必要条件. 五、误用点线距离公式致错 6.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( ) A． B． C． D． 【错解】由点到直线的距离公式知 【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B的取值，B应取-1,而不是取1. 【正解】由点到直线的距离公式知 7. “ a=b” 是“直线与圆 ( ) A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件 【错解】当时圆心坐标为圆心到直线的距离为与半径相等， 故是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时， 圆心到的距离为， 故是直线与圆相切的充分必要条件. 选A。 【错因】在运用点到直线的距离公式时,应先变为 再计算. 这里y的系数应为- 1而不是未变形前的1. 【正解】C， 当时，圆心到直线=0的距离为不一定刚好等于, 故不是充分条件, 当直线与圆相切时,到直线的距离应等于半径, 即, 解得或，故也不是必要条件, 综上可得，是直线与圆相切的既不充分也不必要条件. 六、忽视切线斜率不存在致错 8．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　 ) A．3x＋4y－4＝0 B．4x－3y＋4＝0 C．x＝2或4x－3y＋4＝0 D．y＝4或3x＋4y－4＝0 【错解】选B，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1， 解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 【错因】没考虑斜率不存在的情况。 【正解】（1）当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切； （2） 当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0， 则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0. 综上，得切线方程为x＝