6.4.2 分层随机抽样的均值与方差（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．为了解全体高中学生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取了男生32人，女生18人．通过计算得到男生身高样本均值为173.5 cm，女生身高样本均值为163.83 cm，则所有数据的样本均值约为_____________． 170．02 cm　[样本均值＝×173.5＋×163.83≈170.02(cm).] 2．(多空题)高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两个年级的竞赛成绩分别为80分和90分，则 (1)高一、高二年级抽取的样本容量分别是__________． (2)估计高一和高二数学竞赛的平均分为__________． (1)90，70　 (2)84.375分　 [(1)由题意知，高一年级抽取的样本容量为×160＝90，高二年级抽取的样本容量为×160＝70.(2)估计高一和高二数学竞赛的平均分为＝×80＋×90＝84.375(分).] 3．某地区有居民6 000户，其中城镇居民2 000户、农村居民4 000户．现从城镇居民中以简单随机抽样方式抽取100户，得到他们的月均用水量为12 t，从农村居民中以简单随机抽样方式抽取200户，得到他们的月均用水量为6 t，依据这些数据并结合所掌握的统计知识，估计该地区全体居民的月均用水量是________． 8 t　[总体平均数的估计值为×12＋×6＝8(t).] 4．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200；乙队体重的平均数为70 kg，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解　由题意可知，甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝；乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝.则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296.所以甲、乙两队全部队员的平均体重是68 kg，方差是296. 5．某单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有400人，具有初级职称的有240人．为了解职工的月收入情况，决定采用分层随机抽样的方法，按职称分为三层，得到具有高级职称、中级职称、初级职称的职工平均月收入分别为8 000元、6 400元、5 600元． (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为40，那么在具有高级职称、中级职称、初级职称的职工中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该单位全体职工的平均月收入． (2)如果从具有高级职称、中级职称、初级职称的职工中抽取的样本量分别为20，30，30，试计算所有数据的样本均值． 解　(1)分配比例为＝，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数分别为160×＝8，400×＝20，240×＝12. 样本平均数是×8 000＋×6 400＋×5 600＝6 480(元). 所以在具有高级职称、中级职称、初级职称的职工中分别抽取了8人、20人、12人，估计该单位全体职工的平均月收入为6 480元． (2)样本均值为×8 000＋×6 400＋×5 600＝6 500(元)，即所有数据的样本均值为6 500 元． 6．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户、高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户、高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是_________． 5．7%　[方法一　该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有99 000×＋1 000×＝5 700(户)，所以所占比例的合理估计是5 700÷100 000＝5.7%. 方法二　在普通家庭中拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为＝，在高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例为＝，所以该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为(×＋×)×100%＝5.7%.] 7．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________． 5　[∵方程x2－5x＋4＝0的两根分别为1，4且＝b， ∴a＝1，b＝4. ∴该样本为1，3，5，7，平均数为4. ∴s2＝[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.] 8．某地区有高中生7 200人，初中生11 800人，小学生12 000人．当地教育部门为了解本地区中小学生