第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值（重难点题型突破）-【冲刺双一流】备战2023年高考数学二轮复习核心专题讲练（新高考版）

第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值 目录 第一部分：知识强化 第二部分：重难点题型突破 突破一：导数的几何意义 突破二：利用导数研究函数的单调性 角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参） 角度2：已知函数在区间上单调 角度3：已知函数在区间上存在单调区间 角度4：已知函数在区间上不单调 角度5：已知函数有三个单调区间 突破三：利用导数研究函数的极值与最值 角度1：求已知函数的极值（点）、最值 角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数 突破四：含参问题讨论单调性 角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 第三部分：冲刺重难点特训 第一部分：知识强化 1、导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即，相应的切线方程为. （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、利用导数研究函数的单调性 （1）求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. （2）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （3）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间，有解. ②已知在区间上存在单调减区间，有解. （4）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） 3、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 4、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 5、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 第二部分：重难点题型突破 突破一：导数的几何意义 1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________. 6．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知直线是曲线的切线，则___________. 7．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________． 8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数，函数在处的切线方程为____________．若该切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是____________． 突破二：利用导数研究函数的单调性 角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）下列区间中能使