第17讲 数列求和5种常考题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第17讲 数列求和5种常考题型总结 【题型目录】 题型一：分组求和法 题型二：裂项相消法求和 题型三：错位相减法求和 题型四：先求和，再证不等式 题型五：先放缩，再求和 【典型例题】 【例1】已知数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用 ，即可得的通项公式； （2）由题可知，利用分组求和法即得. （1） 因为， 当时，， 当时，， 因为也满足， 综上，； （2） 由题可知， 所以. 以． 【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和. 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项； （2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可． 【详解】（1）由题设得：， ∵，则，故是首项，公差为2的等差数列， ∴， 当时，得：， 当，由①，②， 由①－②整理得：，， ∴，故， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故. （2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，； ∴． 【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式； （2）数列中在之前共有项，再分组，分别利用等差，等比求和公式可求得答案 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，解得， 则等比数列{an}的通项公式为； （2）数列中在之前共有项， 当时，；当时，， 则 ， 则所求的数列的前100项和为． 【题型专练】 1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，.(2) 【分析】（1）直接根据等差数列等比数列通项公式计算得到答案. （2），利用分组求和法结合等差等比数列求和公式计算得到答案. 【详解】（1），，解得，（舍去）. 故，. （2）， 故. 2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和. 【答案】(1)任选①②③，都有；(2)任选①②③， 【分析】（1）由已知得出数列是等差数列， 选①，利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式； 选②，由等比数列性质得，再利用等差数列的基本量法求得后可得通项公式； 选③，由等差数列的前项和公式求得后得通项公式； （2）求出，用分组求和法求和． （1） 由得，即，所以是等差数列，公差为1， 选①，， 则，，所以； 选②，成等比数列，则，所以，解得， 所以； 选③，，，， 所以； （2） 任选①②③都有： 由题意，，所以， ． 3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据等比中项列出方程求得即可得到通项公式. （2）由题意计算出在中对应的项数，然后利用分组求和即可. （1） 设数列的公差为，因为是和的等比中项， 则且 则或（舍） 则， 即通项公式 （2） 因为与（，2，…）之间插入， 所以在数列中有10项来自，10项来自， 所以 4.已知等差数列满足，设. (1)求的通项公式，并证明数列为等比数列； (2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和. 【答案】(1)，证明见解析，(2) 【分析】（1）先由递推公式求出通项公式，即可得的通项公式，由即可证明为等比数列； （2）先确定数列前20项的和包含的前5项，的前15项，分组求和即可. （1） 设等差数列的公差为，因为，所以，故，所以. 因为，所以数列是公比为4的等比数列. （2） 由题意，该数列前20项的和包含的前5项，的前15项， 设该数列前项和为的前项和为的前项和为， 所以. 题型二：裂项相消法求和 【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据等差中项及数列和的意义化简可得公比，由等比数列通项公式求解即可； （2）