第16讲 数列的通项6种常见题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第16讲 数列的通项6种常见题型总结 【题型目录】 题型一：已知，求 题型二：叠加法（累加法）求通项 题型三：叠乘法（累乘法）求通项 题型四：构造法求通项 题型五：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【典型例题】 题型一：已知，求 【例1】已知数列的前项和. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后根据求得的值. 【详解】依题意， 当时，； 当时，，， 两式相减得，也符合上式， 所以， ，由解得，所以. 故选：B 【例2】（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，由求出；当时，由求出；即可求解. 【详解】当时，，； 当时，，不符合，则. 故选：B. 【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的通项公式． 【答案】. 【分析】利用项与前项和的关系即得. 【详解】对任意的，， 当时，则， 当时，由，可得， 上述两个等式作差可得， ， 满足， 因此，对任意的，. 【题型专练】 1.已知数列的前项和是， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列与的关系即可求得数列的通项公式； （2）因为数列的首项为正且是一个递减数列， 令，得该数列前34为正，后面的项全为负，设数列的前项和为，利用分组求和即可求得数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 当时， 把代入上式，满足题意. 数列的通项公式. （2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负， 令，则数列前34为正，后面的项全为负， 设数列的前项和为，则当，， 当时， 数列的前项和为 2．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______. 【答案】7 【分析】将代入根据可得出答案；当时由，求出，从而可得出答案. 【详解】当时，； 当时，. 所以，所以. 故答案为： 3．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 当时，求，当时，由题意得，可求得，即可求解. 【详解】 解：当时，， 当时，由得 ，两式相减得，，即， 综上， 所以的前n项和为， 故选：C. 题型二：叠加法（累加法）求通项 【例1】在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答. 【详解】因为，则， 当时， ，显然满足上式，即有， 所以． 故选：A 【例2】已知数列满足，，且，若表示不超过的最大整数（例如，），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知等式可推导证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得，采用累加法可求得，由此可得，分别讨论和时的取值，加和即可得到结果. 【详解】由得：，又， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ， ； 又，当时，；当时，， . 故选：C. 【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ） A．290 B．325 C．362 D．399 【答案】B 【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得. 【详解】设该数列为，则由，，，，… 可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故， 故， 则，，，…，， 上式相加，得， 即，故. 故选：B. 【例4】已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】由已知可得，然后利用累加法可求出，从而可求出. 【详解】因为， 所以， 所以， ， ， ……， ， 所以， 因为， 所以， 所以． 故答案为：. 【例5】已知数列中，，，是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，求使得成立的最小整数. 【答案】(1)； (2)使得成立的最小整数为. 【分析】（1）根据等差数列的定义求出，从而可求出的通项，再利用累加法求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和，解不等式求的范围，确定满足条件的最小整数. 【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，所以， 因为，，所以，所以，故， 所以， 则， ， ， ， 累加得， 所以， 满足上式，所以， （2）由（1）， 所以 ， 所以不等式可化为，所以， 所以使得成立的最小整数为. 【题型专练】 1．若，，，则_________． 【答案】 【分析】用累加法即可求出．