专题5.3 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题5.3 平面向量基本定理及坐标表示-重难点题型精讲 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 3．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 5．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型1 用基底表示向量】 【方法点拨】 用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底 表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解. 【例1】（2022·黑龙江·高二开学考试）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地； 对于B中，向量和，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得，解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 故选：C. 【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】根据向量是否成倍数关系可判断是否共线,即可确定是否可作为基底向量. 【解答过程】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而， 则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意. 其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量. 故选:D. 【变式1-