考点10 随机变量的均值与方差（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点10 随机变量的均值与方差 概率与统计，是历年高考的必考点，尤其是新高考改革后，各卷都有考查，其主要考查内容有：数字特征与概率的计算问题、随机变量的均值与方差、回归分析与独立性检验、二项分布及其应用等。例如：2020年江苏高考[25]，2021年北京高考[18]，2021年全国新高考卷Ⅰ[18]，2022年全国甲卷（理）[19]，2022年北京高考[18]等都对数字特征与概率的计算问题进行了考查。 〔1〕求离散型随机变量的均值与方差 1.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值和方差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的均值和方差，求线性函数的均值和方差，可直接运用均值和方差的性质求解； (3)若能分析出所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解。 2.一般步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)由均值定义求出E(X)，进一步由公式求出D(X)。 〔2〕二项分布的均值与方差 1.如果~，则用公式求解，可大大减少计算量。 2.以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背景的均值与方差的计算. 先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊分布，然后可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算公式计算出均值和方差，也可以直接应用离散型随机变量服从特殊分布时的均值与方差公式来计算。若X没有告诉服从特殊分布，但服从特殊分布，可利用有关性质、公式及，求X的均值和方差。 〔3〕均值（期望）与方差在决策中的应用 1.求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算。 2.要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，则用二项分布的期望与方差公式计算，更为简单。 3.在实际问题中，若两个随机变量，，有或与较为接近时，则需要用与来比较两个随机变量的稳定程度.即一般将期望最大（或最小）的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小（或最大）的方案作为最优方案。 例1．（2022·全国·高考真题（理）·19）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 例2．（2022·北京·高考·18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 1．（2022·广西北海·一模（理））某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是．其统计数据分组区间为，，，，． (1)求直方图中x的值； (2)以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望． 2．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分．若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答．5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为，且每人答每道题都是相互独立的． (1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为，求的最大值和最大值点的值； (2)以（1）中确定的作为p的值，求“领航队”积分成绩的数学期望． 3．（2022·河北唐山·三模）某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消