易错点11 立体几何-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题11 立体几何 易错分析 一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错 1.如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值． 【错解】（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由，得， 令，则，，则.. 则，因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【错因】混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系，实际上直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即。 【正解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，， 设平面的法向量为，由， 得，令，则，，则. 设直线与平面所成角为，则. 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错 2、如图所示的几何体是由棱台ABC－A1B1C1和棱锥D－AA1C1C拼接 而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°, BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角A1-BD-C1的余弦值. 【错解】设交于点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,如图建立空间直角坐标系,轴显然平行于直由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,得,,, ,,, 设平面的一个法向量为, 则令,得,从而 同理, 设平面的一个法向量为,则 令,得,从而,则. 故二面角的余弦值为. 【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【正解】设交于点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,如图建立空间直角坐标系,轴显然平行于直由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°, 得,,, ,,, 设平面的一个法向量为, 则令,得,从而 同理, 设平面的一个法向量为,则 令,得,从而,则. 又由图可知为锐角,故二面角的余弦值为. 三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为(　 ) A. B．－ C．－ D. 【错解】选B，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则＝(－1，－3,2)， ＝(－1,0，－2)，从而cos〈，〉＝＝＝－. 【错因】两异面直线所成角的范围，而两向量夹角的范围为，错解中误认为两向量夹角就是两异面直线所成角。 【正解】选A　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则＝(－1，－3,2)，＝(－1,0，－2)，从而cos〈，〉＝＝＝－.又异面直线BD1和B1C所成的角不可能为钝角，其余弦值非负，所以，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为. 四、忽视异面直线所成角的范围致错 4．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【错解】A，如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，， 【错因】忽略了异面直线所成角的范围，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数. 【正解】B，如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，，，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为. 5．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________． 【错解】60°，如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EGAB，FGCD，∴∠EGF是AB和CD所成的角，∠GEF是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE. 因为∠EGF＝60°，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°。 【错因】∠EGF不一定是AB和CD所成的角，还有可能是AB和CD所成的角的补角。 【正解】30°或60°，如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EGAB，FGCD，∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角， ∠GEF或其补角是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF， ∴∠GEF＝∠GFE.当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°；当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠G