专题19 最值问题中的费马点模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题19 最值问题中的费马点模型 【模型展示】 特点 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点 如图，点M为锐角△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小 【证明】 以AB为一边向外作等边三角形△ABE， 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝60°． 而∠MBN＝60°， ∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中， ∵， ∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN． ∵∠MBN＝60°，BM＝BN， ∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN． ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM． ∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°； ∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 结论 三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点 【模型证明】 解决方案 如图,在锐角△ABC外侧作等边△ACB',连接BB’. 求证:BB'过△ABC的费马点P,且BB'=PA+PB+PC. 【证明】 在BB'上取点P,使∠BPC=120°,连接AP,在PB'上截取PE=PC,连接CE. ∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°, ∴△PCE为等边三角形, ∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°. ∵△ACB'为等边三角形, ∴AC=B'C,∠ACB'=60°, ∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°, ∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE, ∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB', ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°, ∴P为△ABC的费马点, ∴BB'过△ABC的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC. 如图,在△ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD. 求证:BE=DC. 【证明】 由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE. 在△BAE和△DAC中, ∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC. 【题型演练】 一、单选题 1．数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（　　） A．迪卡尔 B．欧几里得 C．欧拉 D．丢番图 【答案】A 【分析】根据实际选择对应科学家--迪卡尔. 【详解】平面直角坐标系是法国的数学家迪卡尔创立的，并以他的名字命名. 故选A 【点睛】本题考核知识点：数学常识. 解题关键点：了解数学家的成就. 2．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣=．故选B． 点睛：此题主要考查了解直角三角形，正确画出图形进而求出PE的长是解题关键． 3．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝（ 　 ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF，由过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到满足条件的点P，易得EM=DM=MF＝，根据勾股定理列方程求出PM、PE、PF，继而求出PD的长即可求解． 【详解】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=6， ∴， 过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P就是马费点， ∴EM=DM=MF＝， 设PM＝x，PE＝PF=2x， 在Rt△EMP中，由勾股定理可得： ，即， 解得：，（负