专题01 不等式综合问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题01 不等式综合问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项表示（即的代数式），然后根据的正负性进行分类，分别求出的范围即可. 【详解】设等比数列的公比为， 等比数列中， ， 当时，； 当时，； . 故选：D. 5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用. 2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题. 3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 　不等式的性质与解法 【核心知识】 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集. 【典例分析】 典例1.（2018·全国·高考真题（理））设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选B. 典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪{2} 【答案】B 【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2， 当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有解得－2<a<. 综上，实数a的取值范围是. 典例3.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 根据条件，可得或，逐一分析四个选项，即可得答案. 【详解】 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则，所以，故C错误； 因为或，所以， 所以，故D正确. 故选：AD 【易错提醒】 求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a的符号． 考向二 　不等式的恒成立问