易错点10 数列-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题10 数列 易错分析 一、利用an＝Sn－Sn－1求通项公式忽视n＝1致错 1、在数列中，（），求的通项公式． 【错解】由得，两式相减得，整理得，故是以，等比数列，即． 【错因】未对进行验证． 【正解】由得当时，，两式相减并整理得（）即（），又由得，由于， 故数列是从第二项起以为公比的等比数列，故 二、忽视在数列中n为正整数而致错 2．在数列－1,0，，，…，中，若an＝0.08，则n＝(　 ) A. B．8 C.或10　 D．10 【错解】由题意可得＝0.08，解得n＝10或n＝．所以选C。 【错因】在数列中n为正整数，不能取小数。 【正解】由题意可得＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．所以选D。 三、等比数列问题中忽视对公比的讨论致错 3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则等比数列{an}的公比q的值为(　 ) A．1 B．1或 C. D．± 【错解】因为7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.因为a1＋a2≠0，所以q2＝. 所以q＝±.故选D. 【错因】审题不清，未考虑公比的正负。 【正解】因为7S2＝4S4，所以3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)， 所以3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.因为a1＋a2≠0，所以q2＝. 因为{an}为正项等比数列，所以q＞0，所以q＝.故选C. 4. 设是等比数列的前n项和，，，成等差数列，且.则____. 【错解】由题知，整理得：. ∴，故. 【错因】未考虑的情况。 【正解】由题知：. 当时，显然不成立， 当时，，整理得：. ∴，故. 5、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn. 【错解】由已知得，即，解得a1＝3，d＝－1， 所以an＝4－n， 则bn＝n·qn－1， 所以Sn＝1＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， qSn＝1·q＋2·q2＋3·q3＋…＋n·qn， 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＋n·qn＝-n·qn. 所以Sn＝-. 【错因】未对q＝1或q≠1分别讨论． 【正解】设{an}的公差为d，则由已知得，即， 解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n. 则bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， (1) 若q≠1，上式两边同乘以q. qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn， 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝－n·qn. 所以Sn＝－＝. (2)若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝， 由上可知，所以Sn＝. 四、使用错位相减法求和，两式相减时符号出错 6、设为数列的前n项和，已知，，．求数列的前n项和． 【错解】令，得，即．因为，所以． 令，得，解得． 当时，由，两式相减得， 即．于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此． 所以数列的通项公式为．则． 记数列的前n项和为，于是① 则．② ①－②得． 从而． 【错因】两式相减时，项的符号出错， 【正解】令，得，即．因为，所以． 令，得，解得． 当时，由，两式相减得， 即．于是数列是首项为1，公比为2的等比数列．因此． 所以数列的通项公式为．则． 记数列的前n项和为，于是① 则．② ①－②得． 从而． 五、利用裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　 ) A. B． C. D. 【错解】设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝＝－， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1＝. 选C。 【错因】求和时漏项，漏掉了这一项。 【正解】设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝＝－， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝. 选B。 8．已知数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn<a2－a恒成立，则实数a的取值范围是________________． 【错解】因为＝， 所以Tn＝， 又因为12Tn<a2－a恒成立， 所以12×1≤a2－a，解得a