第四章 数学史料-高中数学文化探究选择性必修第二册

2 根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,至今见诸文献最早的记录是在萨珊王 朝时期用波斯文写的.据说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向 国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏. 国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相,作 为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐.宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子 上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即 每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍,直到最后一 个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了.“好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了 宰相的这个谦卑的请求. 这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢? 稍微算一下就可以得出:1+2+22+ …+263=264-1,直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒,这位宰相所要 求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和! 如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千 米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回. 正当国王一筹莫展之际,太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下, 这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要 3 我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下.其实,您只要 让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了.假如宰相大人一秒钟数一粒,数完 18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年.就算宰相大人 日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分.这样的 话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐.”国王恍然大悟, 当下就招来宰相,将教师的方法告诉了他. 这位宰相沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我也只好不 要了!” 高斯 一、高斯与等差数列的故事 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟 大的数学家之一,和阿基米德、牛顿并列,同享盛名. 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭,1855 年2月23日卒于格丁根.幼时家境贫困,但聪敏异常,受一贵族 资助才进学校受教育.1795~1798年在格丁根大学学习1798年 转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位. 从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至 逝世. 高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学.读书不久,高斯在数学上就显 露出了常人难以企及的天赋.高斯十岁那年,老师布置了一道很繁杂的计算题,要求学 生把1到100的所有整数加起来,老师刚叙述完题目,高斯就把写着答案的小石板交了 上去.老师起初并不在意这一举动.但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大 吃一惊.而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个 数加倒数第二个数的和也是101,…共有50对这样的数,用101乘以50得到5050.这种 算法是教师未曾教过的计算等差级数的方法.高斯的才华使这位老师十分激动,下课后 特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了. 二、毕达哥拉斯公式与等差数列 你能求出它的第100项、第1999项是什么数吗? 4 … 用“找规律”的办法,可以看出它的第100项是:1+2+3+4+…+99+100 第1999项是:1+2+3+4+…+1998+1999, 上面两个式子中的各个加数依次组成的数列1,2,3,4…是等差数列.所以上面的问 题实际上就是求等差数列前若干项的和的问题. 如果相加的项数较少,逐次相加也不难,如果相加的项数很多,要逐次相加可就太 繁太笨了.我们需要找一个计算“等差数列前若干项的和”的简便算法.对上面的1+2+ 3+…+100,我想大家不会忘记小高斯的故事与5050这个结果的.下面我们来学习“求 等差数列前若干项的和”的一般方法.这一方法毕达哥拉斯早在2500年以前就发现了. 先看一个实例:计算 1+4+7+10+13+16+19+22+25 (1) 把各加数的顺序全倒过来是 25+22+19+16+13+10+7+4+1 (2) 把(1)、(2)中的各加数上下对齐相加,可得 26+26+26+26+26+26+26+26+26 =26×9 =234 变成了相同加数相加,可用简便运算乘法很快算出结果(加变乘). 所以,(1)式中各数的和是234÷2=117 列成综合算式是:(1+25)×9÷2=117 一般地,设等差数列的前n项是: a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an 它们的和是:Sn=a1+a2+a3+…+an-2+