第五章 数学素养-高中数学文化探究选择性必修第二册

184 令gt =1-t+tlnt,g't =-1+lnt+1=lnt, 当t∈ 0,1 时,g't <0,gt 单减,假设g1 能取到,则g1 =0, 故gt >g1 =0; 当t∈ 1,+∞ 时,g't >0,gt 单增,假设g1 能取到,则g1 =0, 故gt >g1 =0; 综上所述,g(x)= x+ln1-x xln1-x <1 在x∈ -∞,0 ∪ 0,1 恒成立. 小试牛刀 1.B 【解析】由题意可得λ=f'(ξ)= f(b)-f(a) b-a ,即要求f(x)=(1+x)·ln(1+x)- 1 2x 2-x 导函数 f'(x)=ln(1+x)-x 的最大值,令h(x)=ln(1+x)-x,对h(x)=ln(1+x)-x 进行求导判断它的单 调性,从而求出最大值即可. 由题意知,∀a,b∈ 1e-1 ,e-1􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,∃ξ∈(a,b),使得λ=f'(ξ)= f(b)-f(a) b-a . 因为f(x)=(1+x)ln(1 +x)- 1 2x 2-x, 则f'(x)=ln(1+x)-x,令h(x)=ln(1+x)-x,则h'(x)= 1 1+x-1= -x 1+x. 当 1 e-1<x<0 时,h'(x)>0,即h(x)在 1e-1 ,0 上为增函数; 当0<x<e-1时,h'(x)<0,即h(x)在(0,e-1)上为减函数.所以f'(x)=ln(1+x)-x≤f'(0)=0,所 以f'(x)max=0,所以实数λ的最大值为0. 2.A 【解析】当x=0时,对任意的a,都有f(x)≥ax;当x>0时,问题即转化为 a≤ ex-e-x x 对所有x>0都成立,令g(x)= ex-e-x x = f(x)-f(0) x-0 , 由拉格朗日中值定理知(0,x)内至少存在一点ξ(从而ξ>0),使得f'(ξ)= f(x)-f(0) x-0 =e ξ+e-ξ,即根 据不等式即可知f'(ξ)≥2,即a≤2. 3.B 【解析】f'(x)=x2-x,由题意x2-x= 1 3m 3- 1 2m 2+m-m m 在[0,m]上有两个不等实根,方程即为 x2-x- 13m 2- 1 2m =0,令 g(x)=x2-x- 13m2-12m = x-12 2 - 13m 2- 1 2m+ 1 4 ,则 m> 1 2 , g(0)=- 1 3m 2- 1 2m >0, g 1 2 = 13m2-12m+14 <0, g(m)=m2-m- 1 3m 2- 1 2m >0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 185 解得 3 4<m< 3 2. 故选B. 4.C 【解析】由f'(x)>0,得f(x)在R上单调递增,因为π>e>2,所以f(π)>f(e)>f(2),故A不正确; 对∀x1,x2∈R,且x1≠x2,总有 f(x1)+f(x2) 2 <f x1+x2 2 ,可得函数的图象是向上凸,可用如图的图 象来表示, 由f'(x)表示函数图象上各点处的切线的斜率,由函数图象可知,随着x 的增大,f(x)的图象越来越平 缓,即切线的斜率越来越小,所以f'(π)<f'(e)<f'(2),故B不正确; f(2)-f(1)= f(2)-f(1) 2-1 =kAB ,表示点(1,f(1))与点(2,f(2))连线的斜率, 由图可知f'(2)<kAB=f'(1),所以C正确,D不正确. 故选C. 5.D 【解析】 对于选项A:定义域为R, y=f(x)=sinhxcoshx= e2x-e-2x 4 ,而f(-x)= e-2x-e2x 2 =-f (x),所以f(x)是奇函数,所以A错误; 对于选项B: coshxcoshy-sinhxsinhy= ex+e-x 2 ·e t+e-y 2 - ex-e-x 2 ·e y-e-y 2 = ex+y+e-x-y+ex-y+ey-x 4 - ex+y+e-x-y-ex-y-ey-x 4 = ex-y+ey-x 2 =cosh (x-y),所以B错误;对于选项C、D:设A m, em+e-m 2 , B m, em-e-m 2 ,(coshx)'=e x-e-x 2 ,(sinhx)'= ex+e-x 2 , 则曲线C1 在点A 处的切线方程为:y- em+e-m 2 = em-e-m 2 (x-m), 曲线C2 在点B 处的切线方程为:y- em-e-m 2 = em+e-m 2 (x-m), 联立求得点P 的坐标为(m+1,em),则|BP|2=1+ em- em-e-m 2 2 =1+ (em+e-m)2 4 , S△PAB= 1 2|AB|= 1 2e -m,所以|BP|