第四章 数学素养-高中数学文化探究选择性必修第二册

174 Sn= 2bn 2bn-1 = 2+n 1+n , 当n=1时,a1=S1= 3 2 , 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= 2+n 1+n- 1+n n =- 1 nn+1 ,显然对于n=1不成立, 所以an= 3 2 ,n=1 - 1 nn+1 ,n≥2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 . 小试牛刀 1.C 【解析】设第n 行视标边长为an,第n-1行视标边长为an-1;由题意可得:an-1= 10 10an⇔ an an-1 =10 - 1 10 则数列an 为首项为a,公比为10 - 1 10的等比数列即a9=a(10 - 1 10)9-1=10 - 4 5a 则视力4.9的视标边长为 10 - 4 5a,故选C. 2.C 【解析】由题意可知每天派出的人数构成等差数列,记为{an},且a1=64,公差d=7, 则前3项和S3=3×64+ 3×2 2 ×7=213 ,则前3天共分发大米213×3=639(升),故选C. 3.A 【解析】设蒲的长度组成等比数列{an},其a1=3,公比为 1 2 ,其前n 项和为An. 莞的长度组成等比数列{bn},其b1=1,公比为2,其前n 项和为Bn.则An= 31- 1 2n 1- 1 2 ,Bn= 2n-1 2-1 , 由题意可得: 31- 1 2n 1- 1 2 = 2n-1 2-1 ,化为:2n+ 6 2n =7,解得2n=6,2n=1(舍去). ∴n= lg6 lg2 =1+ lg3 lg2 ≈2.6. ∴估计2.6日蒲、莞长度相等,故选A. 4.A 【解析】由题意可知,将1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…,可分为20,(20,21),(20,21,22),(20,21,22, 23),(20,21,22,23,24)…(20,21,22,23,24…2n-1),根据等比数列前n 项和公式,求得每组和分别为21-1, 22-1,23-1,24-1,…2n-1, 每组含有的项数为:1,2,3,…n,总共的项数为 N= n(n+1) 2 , 所有组的项之和为S=21-1+22-1+23-1+24-1+…+2n-1= 2(1-2n) 1-2 -n=2 n+1-2-n,由题意可 知:2n+1 为2的整数幂,只需将-2-n 消去即可, 则①1+2+(-2-n)=0,解得n=1,总共有 1×(1+1) 2 +2=3 项,不满足 N>100, 175 ②1+2+4+(-2-n)=0,解得n=5,总共有 5×(5+1) 2 +3=18 项,不满足 N>100, ③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得n=13,总共有 13×(13+1) 2 +4=95 项,不满足 N>100, ④1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得n=29,总共有 29×(29+1) 2 +5=440 项,满足 N>100, 即该软件的激活码是440,故答案为440. 5.C 【解析】∵a1=1,an= 2an-1-1,n 为偶数 2an-1+2,n 为奇数 , ∴a2=2a1-1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3-1=7,a5=2a4+2=16,a6=2a5-1=31, 所以解下6个环所需的最少移动次数为31. 故选C. 6.B 【解析】设年龄最小者的年龄为n,年龄最大者的年龄为m(m∈[90,100]), 所以n+(n+1)+…+(n+18)+m=1520,所以19n+m=1349, 所以m=1349-19n,所以90≤1349-19n≤100,所以65 14 19≤n≤66 5 19 , 因为年龄为正整数,所以n=66,故选B. 7.A 【解析】由题意可知:每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列, 则杨辉三角形的前n 项和为Sn= 1-2n 1-2=2 n-1, 若去除所有的为1的项,则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1,公差为1的 等差数列,则Tn= n(n+1) 2 , 可得当n=9,所有项的个数和为45, 则杨辉三角形的前11项的和为S11=211-1, 则此数列前55项的和为S11-21=2026, 故选A. 8.C 【解析】能被3除余1且被8除余1的数就只能被24除余1的数列,故an=24n+1,由1≤an≤2021 得1≤n≤84,故此数列的项数为84. 故选C. 9.A 【解析】由题意若只有一个台阶,则有f(1)=1种上楼方法;若有两个台阶,则有f(2)=2种上楼 方法; 若有三个台阶,则有f(3)=3种上楼方法;若有四个台阶,则有f(4)=5种上楼方法; 以此类推: 若要到达第n 个台阶,前一步可能在第n-1个台阶上再跨一台阶上去,也可能是在第n-2个台阶上跨 两个台阶上去, ∴满足f(