专题16 直线与圆锥曲线联立消元的第三种思路-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题16 -----直线与圆锥曲线联立消元的第三种思路 【专题导航】 解析几何体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，因此代数学运算就不可避免地出现在其中.如果解题时思维的起点与方法选择的不当，可导致运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．因此，针对解析几何题目的特点，选择恰当的解题策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量，提高解题效益.本专题提供一种有别于传统的直线与圆锥曲线方程联立消元方法，称之为第三种思路，能有效降低计算难度，提高计算的准确性.本讲设计先看几种题型解法的比较，有比较才有优劣，最后归纳总结第三种思路的适用范围和解法. 题型一 含K1+k2结构模型 【例1-1】（2022·全国·高考真题改编）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求l的斜率． 【答案】；【分析】由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率； 【解析】法一、传统解法：易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，． 所以由可得，，即， 即，所以， 化简得，，即，所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去，故． 法二、第三思路解法：易知直线l的斜率存在，设，，由题知直线AP与AQ的斜率均存在，则x1-2≠0，x2-2≠0.依题意得，令y′＝y－1，x′＝x－2,则有.由y＝kx+m有y-1＝k（x-1）+k+m,即y′＝kx′+k+m,． ,, 所以l的斜率为-1． 【例1-2】(2017全国Ⅰ改编)设直线l不经过点P(0，1)且与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，证明：l过定点． 【解析】法一、传统解法：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而. 由题设，故. 即.解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 法二、第三思路解法：若直线l⊥x轴，依题设方程为x＝t(0＜|t|＜2)，可得A，B的坐标分别为，(t，－)，所以kAP＋kBP＝－＝－＝－1，解得t＝2，不符合题设．因此直线l斜率存在，设其方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知直线PA与PB的斜率均存在，则x1≠0，x2≠0，m≠－1.依题意得＋＝－1，令y′＝y－1，则有＋＝－1.由得即所以＋y′2＋2y′·＝0，整理得2－＋＝0，根据根与系数的关系，得＋＝＝－1所以m＝－2k－1，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)－1，过定点(2，－1)，故原命题得证． 【能力达标训练】 【1-1】设，过点作直线l交椭圆C：于异于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为，，证明：为定值. 【分析】直线斜率不存在时直接求出两点地，计算出，斜率存在时，设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，代入化简可得． 【解析】法一、传统解法：若直线的斜率不存在，则方程为，代入椭圆方程得，即，， 直线斜率存在时，设直线方程为，设， 由得，，， ，综上，为定值． 法二、第三思路解法：若直线的斜率不存在，则方程为，代入椭圆方程得，即，， 直线斜率存在时，设直线方程为，设，由题知直线AN与BN的斜率均存在，则x1≠0，x2≠0.依题意得，令y′＝y－2,则有. 由y+2＝k(x+1)有y-2＝kx+k-4,即y′＝kx′+k-4,． ,, 综上所述，为定值4． 【1-2】已知椭圆C：经过点，． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值． 【答案】(1)，(2)证明见解析． 【分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a、b； （2）设出直线AB方程y＝k（x－1），得到D点坐标，联立直线AB与椭圆方程，得到A，B两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出，，，化简代入即可得到定值. 【解析】（1）将点，点代入椭圆方程， 得，解得，所以椭圆方程为． （2）法一、传统解法：由题意直线AB的斜率一定存在，由（1）知，c=1，则椭圆的右焦点坐标为， 设直线AB方程为：y＝k（x－1），D坐标为．所以， 设，，将直线AB方程与椭圆方程联立得． 恒成立，由韦达定理知，且，，则 ．故（定值）． 法二、第三思路解法：由题意直线AB的斜率