广东省肇庆市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

肇庆市第一中学 2022—2023 学年第一学期 期中考试 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ） A． B． C． D． 5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 7．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是（    ） A．＝2－－ B． C． D．＋＋＋ 10．已知直线，，则（    ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 11．已知直线：与直线：的交点在第三象限，则实数k的值可能为（    ） A． B． C． D．2 12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为 三、填空题 13．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______． 14．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 15．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________. 16．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____． 四、解答题 17．已知直线l：. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； （2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围. 18．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆C的标准方程； （2）直线与圆C交于A，B两点． ①求k的取值范围； ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值． 19．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21．已知三条直线和，且与的距离是． (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 22．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 2．B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．D 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则