精品解析：北京市昌平区第二中学2023届高三上学期期中考试数学试题

昌平二中2022—2023学年第一学期高三年级期中考试数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 4. 在的展开式中，的系数为 A 5 B. C. 10 D. 5. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 6. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. 7. 已知向量， ，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 4 C. 3 D. 7 9. 过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题： ①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记，（），则； ②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点. 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知单位向量满足，则的值为______. 12. 角以为始边，它的终边与单位圆相交于第四象限点，且点的横坐标为，则的值为______. 13. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 14. 已知函数，则___________；若，则实数的取值范围是___________. 15. 如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 17. 在中，． （1）求的大小； （2）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：条件选择错误，第（2）问得0分． 18. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 19. 如图,在三棱柱中,平面为正三角形, 侧面是边长为的正方形,为的中点. （1）求证平面; （2）求二面角余弦值; （3）试判断直线与平面的位置关系,并加以证明. 20. 已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足. （1）求椭圆方程； （2）设为椭圆右顶点，过点直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值. 21. 已知数列满足：，，且．记 集合． （Ⅰ）若，写出集合的所有元素； （Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平二中2022—2023学年第一学期高三年级期中考试数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题中选出符合题目要求的一项.） 1. 设集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 2. 在复平面内，与复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置. 【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D. 【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断