专题13 二次函数中的相似-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题13 二次函数中的相似 1．在直角坐标系 中，已知某二次函数的图象经过、，与轴的正半轴相交于点，若（相似比不为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求的外接圆半径； （3）在线段上是否存在点，使得以线段为直径的圆与线段交于点，且以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）（相似比不为， ， 又，， ， 点，， 设图象经过、、三点的函数解析式是，则： ， 解得，，， 这个函数的解析式是； （2）（相似比不为， ． 又， 是外接圆的直径． ； （3）点在以为直径的圆上， ， ①当时，点在的中垂线上， 点是的中点，是的中点． ，点，，即； ②当时，△， ，点，即． ③当时，点显然不能在线段上． 综上，符合题意的点存在，有两解： ，或1． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点 在点的左侧），与轴交于点，为的中点． （1）求的值； （2）抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ． ． （2）抛物线的解析式为． 可求抛物线与轴的交点，． 可求点的坐标． 由图知，点在轴下方的直线上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点一定在轴上方． 此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ①当时，由于为的中点，此时为的中点， 可求点坐标为． ②当时，， 解得：． 如图（2）过点作轴，垂足为， ． 是的中点， ， 由勾股定理得： ， ， ， 由勾股定理得： 的坐标为， 3．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点． （1）求经过、、三点的抛物线的解析式； （2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1），，， ，，，， 设函数解析式为， ，解得， 经过、、三点的抛物线的解析式为： （2），； 所以直线； 联立， 解得，，，； 设点坐标为，，则； ； 由条件容易求得，， 若以、、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形； ①以为直角顶点，为斜边；， 即：， 解得，（不合题意舍去） ，； ②以为直角顶