专题5 全等三角形之半角模型-2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型专题（通用版）

专题5 全等三角形模型之 半角模型 【模型展示】（辅助线思想：旋转、截长补短） 1、正方形含半角 结论：①△ABG≌△ADF；②△AGE≌△AFE；③EF＝BE＋DF. 2、等腰三角形含半角 【典型例题】 1．【问题背景】 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长. ． 2．如图，D为△ABC外一点，过D作DE⊥AB交AB延长线于E，过D作DF⊥AC交AC延长线于F，且DE＝DF． （1）求证：AE＝AF； （2）若∠CAB＝60°，∠BDC＝60°，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程； （3）若题中条件“∠CAB＝60°”改为∠CAB＝α，则∠BDC满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不证明）． 3．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC． （1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度； （2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP+CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP+∠QBC； （3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 4．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： （1）如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： （2）如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： （3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【小试牛刀】 1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是　　． 2．已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明． 3．如图，点M，N分别是等边△ABC边AB，CA的延长线上的点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 求证：NC＝BM+MN． 4．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B+∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到∠EAF＝∠BAD，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 5．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN