专题03 尺规作图（4大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题03 尺规作图 作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，利用尺规作，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的延长线上一点． (1)用尺规作图的方法在上方作，使； (2)在（1）的条件下，若，恰好平分，求的度数． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，△ABC中，点D在BC边上． (1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数． 作已知角的角平分线 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知△ABC．    （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：在边上确定一点D，使得D点到边和到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)猜想：之间有何数量关系？并证明． 作已知线段的垂直平分线 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 作角的和、差 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知：，求作：（不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）    2．（23-24八年级上·漳州·期中）已知，求作，使． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 作三角形 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知：线段，． 求作：，使，且，高．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论）    3．（23-24八年级上·三明·期中）尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得．    4．（23-24八年级上·三明·期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：，线段． 求作：，使． 过直线外一点作这条线段的平行 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知，为，之间一点，连接，．    (1)尺规作图：过点作直线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的度数． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD．（要求：不写作法保留作图痕迹） （2）若∠ADE＝130°，且∠ADE的两边与∠ABM的两边分别平行，则∠ABM＝　　． 结合尺规作图的全等问题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线AB，射线BD，连接AC； (2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹） (4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 尺规作图 作一个角等于已知角 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴， 依据是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，利用尺规作，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交于点，再以点为圆心，同样的长度为半径画弧，交于点，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧相交于点，画射线，则，掌握作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的延长线上一点． (1)用尺规作图的方法在上方作，使； (2)在（1）的条件下，若，恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以C为顶点，作即可； （2）根据已知判断出，从而根据平行线的性质求出，关键角平分线的定义得到，再根据邻补角求出结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解决此类问题的关键．也考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义． 4．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，△ABC中，点D在BC边上． (1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E． （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）如图，点E即为所求． （2）∠A＝65°，由作图可知，DE//AB， 【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 作已知角的角平分线 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】利用画法得到OM=ON，CM=CN，加上OC为公共边，可根据“SSS”证明△COM≌△CON，据此可以得出OC就是∠AOB的平分线． 【详解】：由作法得OM=ON，CM=CN， 而OC为公共边， 所以可根据“SSS”证明△COM≌△CON， 所以∠COA=∠COB， 即OC平分∠AOB． 故选A． 【点睛】考查作图—基本作图，全等三角形的判定，掌握角平分线的作法是解题的关键. 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知△ABC．    （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，求△CBG的面积． 【答案】（1）见解析；（2）27 【分析】（1）根据角平分线的作法利用尺规即可作∠ABC的角平分线交AC于点G； （2）作GD⊥AB，GE⊥BC，根据角平分线的性质可得GD＝GE，根据AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，即可求△CBG的面积． 【详解】解：（1）如图，BG即为所求； （2）如图，∵BG平分∠ABC， 过点G作GD⊥AB于点D，GE⊥BC于点E， ∴GD＝GE， ∵AB＝8，△ABG的面积为18， ∴ ∴GD＝， ∵BC＝12，GE＝GD＝， ∴△CBG的面积为12×＝27． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：在边上确定一点D，使得D点到边和到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)猜想：之间有何数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质． （1）作的角平分线，交于点D，则点D为所求； （2）由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于点D，则点D为所求；   ； （2）解：，理由如下： 过D点作，垂足为点E，    ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 作已知线段的垂直平分线 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线表示直路，而表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． （用尺规作图，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】设交于点E，连接，作出的平分线，再作出线段的垂直平分线，与相交的点即为所求作的点P． 【详解】解：如图，点P即为所求．    理由：设交于点E，连接， 根据作法得：平分，垂直平分线段， ∴点P到两边的距离相等，点P到线段的两端的距离相等， 即点P到的距离相等，点P到点B，C的距离相等． 【点睛】此题主要考查了基本尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练堂握利用直尺和圆规作已知角的平分线和已知线段的垂直平分线，理解角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可． （2）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）如图直线即为所求． （2）∵垂直平分线段，∴， 设，在中， ∵，∴， 解得，∴． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）（1）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______cm． 【答案】（1）作图见解析；（2）8． 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； （2）由作图可知， 的周长， 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作角的和、差 1．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知：，求作：（不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）    【答案】图见解析 【分析】先作，再以为边，在的外部作，即可． 【详解】解：如图所示，即为所求；    【点睛】本题考查复杂作图．熟练掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·漳州·期中）已知，求作，使． 【答案】见解析 【分析】如图，作，在的内部作，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知及上一点A， (1)利用三角板，过点A作的垂线，垂足为点E，此时线段的长为点A到直线的距离． (2)尺规作图（保留作图痕迹）：利用尺规在下方以点B为顶点作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的定义，作出图形即可； （2）以点为圆心，已任意长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，以长为半径，在的下方画弧，与之前的弧交于点，再以点为圆心，以长为半径，在点下方画弧，与第一个弧交于点，连接，并延长至点，即可得出． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求，此时线段的长为点A到直线的距离． （2）解：如图，即为所求， 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 作三角形 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是，根据下列尺规作图痕迹作出的，能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据证明即可得解． 【详解】解：选项B满足题意；由作图知，斜边，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知：线段，． 求作：，使，且，高．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出作图的结论）    【答案】见解答 【分析】先作线段，再作的垂直平分线，垂足为，再在上截取，然后连接、，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作．    【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（23-24八年级上·三明·期中）尺规作图（不写作法，保留痕迹）； 已知：线段， 求作：，使得．    【答案】见解析 【分析】利用已知角作出，进而利用得出． 【详解】解：作出边， 作出， 作出边， 连接，   为所求三角形． 【点睛】本题考查的是复杂作图，作三角形，同时考查的是全等三角形的判定与性质，理解作图的依据是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·三明·期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：，线段． 求作：，使． 【答案】见解析 【分析】根据题意题目要求进行作图即可． 【详解】解：①画出射线， ②以点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于点E和点F；以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交以点B为圆心画的弧于点； ④画出射线，则； ⑤以点B为圆心，b为半径画弧，交射线于点A；以点B为圆心，a为半径画弧，交射线于点P；以点P为圆心，a为半径，交射线于点C， ⑥连接，即为所求．    【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，作线段，解题的关键是熟练掌握相关作图方法． 过直线外一点作这条线段的平行 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，交于点，      (1)尺规作图：过点作交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，作角相等即可得解； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，交于点，即为所求，      （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图之作一个角等于已知角、平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期中）如图，已知，为，之间一点，连接，．    (1)尺规作图：过点作直线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据过直线外一点作该直线的平行线的方法作图即可； （2）易证，得出，，从而即可求解． 【详解】（1）如图，直线即为所作； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查作图—作平行线，平行线的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 3．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 【答案】（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC．根据平行线间的距离相等得到DF=EG，然后再分别表示出S△BCD和S△BCE即可证明． 【详解】（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC ∵DE//BC ∴DF=EG ∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG, ∴S△BCD＝S△BCE 【点睛】本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD．（要求：不写作法保留作图痕迹） （2）若∠ADE＝130°，且∠ADE的两边与∠ABM的两边分别平行，则∠ABM＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）50°或130° 【分析】（1）根据平行线的作图方法进行作图即可； （2）分当BM与AD在AB的同侧和当BM与AD在AB的异侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图，BM为所作； 以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别为AD，AB交点M，N，再以B为圆心，以AN的长为半径画弧交AB延长线于H，以H为圆心，以MN的长为半径画弧与以B为圆心，AN为半径的圆交于G，作射线BG，即为射线BM； （2）直线BM交DE于C， 当BM与AD在AB的同侧，如图1， ∵AD∥BM，DC∥AB， ∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠ADE+∠DCB=180° ∴∠ABC＝∠ADE＝130°， 即∠ABM＝130°； 当BM与AD在AB的异侧，如图2， 同理可得∠ABC＝∠ADE＝130°， ∴∠ABM＝180°﹣130°＝50°， 综上所述，∠ABM的度数为50°或130°． 故答案为：50°或130°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作平行线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 结合尺规作图的全等问题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【分析】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可； （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可．； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：如图，在和，， 和不全等； ．   【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知同一平面内四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题： (1)画直线AB，射线BD，连接AC； (2)在线段AC上求作点P，使得；（保留作图痕迹） (3)过点P作直线l，使得；（保留作图痕迹） (4)请在直线l上确定一点Q，使点Q到点C与点D的距离之和最短，并写出画图的依据． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】（1）依据要求用直尺作图即可； （2）以A为圆心、AB为半径画弧交AC于点P即可； （3）以P为圆心、AP为半径画弧将AC于点E，再以E点为圆心、AB为半径画弧，两弧交于点F，连接PF，直线PF即为所求的直线l； （4）连接CD交直线l于点Q，Q点即为所求． 【详解】（1）作图如下： 直线AB、射线BD、线段AC即为所求； （2）作图如下： 点P即为所求； （3）作图如下： 直线l即为所求； 证明：连接EF、PB， 由作图可知PE=AP，EF=PB，PF=PE， 根据（2）的作图可知AP=AB， 即有：AP=PE，AB=PF，EF=PB， 即有△PEF≌△APB， ∴∠EPF=∠PAB， ∴， 即直线l即为所求； （4）作图如下： 直线l即为所求； ∵， ∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C、Q、D三点共线时，有， 即作图依据为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$