专题4 全等三角形之截长补短法-2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型专题（通用版）

专题4 全等三角形模型之 截长补短法 若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形. （1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条. 即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长. （2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段. 即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等. 【典型例题】 1．【模型分析】 当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 问题： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC． 截长法： 在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可． 补短法： 延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可． 请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC． 【截长法】 【补短法】 2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD． 3．课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC． 求证：∠ABC＝2∠ACB． 小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　BD　，连接DF． 请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB． 请你解答小芸提出的这个问题； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC