专题3 全等三角形之倍长中线模型-2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型专题（通用版）

专题3 全等三角形模型之 倍长中线（类中线）模型（构造8字型全等） 【基础模型】 【模型拓展】 【常见图形】 【典型例题】 1、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明． （1）延长DE到F，使得EF＝DE； （2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F； （3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F． 3、阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC． 结合此题，DE＝EC，点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示. 以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长FE至G，使EG＝EF，连接CG． 在△DEF和△CEG中， ， ∴△DEF≌△CEG（SAS）． ∴DF＝CG，∠DFE＝∠G． ∵DF＝AC， ∴CG＝AC． ∴∠G＝∠CAE． ∴∠DFE＝∠CAE． ∵DF∥AB， ∴∠DFE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠CAE． ∴AE平分∠BAC． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，AE＝AB，AC＝AF，AD＝3，求EF的长． 【小试牛刀】 1、[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边