专题2 全等三角形之一线三等角全等模型-2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型专题（通用版）

专题2 全等三角形模型之 “一线三等角”全等模型 【模型展示】 一、一线三垂直模型 已知BA＝AC，BA⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE. （1）结论：①△ABD≌△CAE；②DE＝BD＋CE. （2）结论：①△ABD≌△CAE；②DE＝CE－BD. （3）结论：①△ABD≌△CAE；②DE＝BD－CE. 辅助线作法：过两锐角顶点向贯穿直角顶点的直线作垂直. 二、一线三等角模型 【典型例题】 1、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F． （1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF； ②EF＝BE+CF （2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，试求EF的长． 2、已知：如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，3），点B在第四象限，△ABO中，OA＝OB，∠AOB＝90°． （1）求点B的坐标； （2）求AB直线解析式． 3、如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝26°，则∠D的度数为　　． 4、探索与证明： （1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明； （2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB＝120°，∠AEC＝120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明． 5、如图，点D，E，F分别为等边△ABC三边AB，BC，AC上三个动点，当△DEF为等边三角形时，若AD＝3，则线段CF的长为　　． 【小试牛刀】 1、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2、如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5） 3、如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0） 4、如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 5、如图所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则EF的长是　　． 6、如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为　　． 7、如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为　　． 8、如图，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为　 　． 9、如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝　　． 10、如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE＝5，AD＝3，则DE的长是　　． 11、如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． 求证：△ABE≌△CAF． 12、如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由． 13、如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，点D在直线AB上，AD＝BC，AF＝BD． （1）如图1，若点D在线段AB上，判断DF与DC的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 14、已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°． （1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标； （2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标． 15、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经