专题02 不等式的性质解法与均值定理（讲+练）-【题型方法解密】2023年高考数学二轮常考点+重难点复习攻略（新高考地区专用）

专题02 不等式的性质解法与均值定理 目录 一 常规题型方法 1 题型一 不等式的性质 1 题型二 一元二次不等式 4 题型三 其他不等式 9 题型四 由均值定理求积与和的最值 12 题型五 均值不等式化“1”法 16 题型六 均值不等式构造法 20 二 针对性巩固练习 24 练习一 不等式的性质 24 练习二 一元二次不等式 25 练习三 其他不等式 27 练习四 由均值定理求积与和的最值 28 练习五 均值不等式化“1”法 31 练习六 均值不等式构造法 33 常规题型方法 题型一 不等式的性质 【典例分析】 典例1-1．（2022·北京市陈经纶中学高一期中）若实数a，b，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等关系与不等式的性质，逐项分析即可求解.（解决此题的关键是熟记不等式的性质） 【详解】由题意可得，实数且， 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C错误； 已知，，则恒成立，故D正确； 故选：D. 典例1-2．（2022·北京·首师大附中昌平学校高一期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当时，，是假命题，故错误； 对B：当时，满足，但，是假命题，故错误； 对C：当时，满足，但，， 是假命题，故错误； 对D：若，根据不等式的性质，，是真命题. 故选：D. 典例1-3．（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）已知，则m和n的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作差比较可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 典例1-4．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的范围，再求的范围. 【详解】因为，所以， 而，所以. 故选：B 【方法技巧总结】 1.不等式的性质有：对称性、传递性、可加性（同向可加性，异向可减性）、可积性（同向正数可乘性，异向正数可除性）、平方法则、开方法则、倒数法则。 2.技巧：性质的应用要注意正负，如果不方便用性质可以在满足条件的前提下进行代数验证，进而排除选项。 3.比较大小可用作差法或作商法 【变式训练】 1．（北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用列举法可直接求解 【详解】对A，，但，故A错误； 对B，，但，故B错误； 对C，，故C正确； 对D,，但，故D错误. 故选：C 2．（2022·河南南阳·高一期中）下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取特殊值可判断AC，作差法可判断B，由不等式的性质可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，得，故B正确； 对于C，取，即可判断C错误； 对于D，因为，所以，故D错误． 故选：B 3．（新疆兵团地州学校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作差法比较两数的大小. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4．（2022·山东·滨州高新高级中学有限公司高一阶段练习）已知 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可得，再利用不等式性质即可得答案. 【详解】由可得，而， 故， 故选：C 题型二 一元二次不等式 【典例分析】 典例2-1．（2022·福建省泉州市培元中学高一阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】依题意可得、为方程的两根且，利用韦达定理得到、，则不等式化为，解得即可. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以、为方程的两根且， 所以，所以、， 所以不等式，即为，即， 即，解得， 即不等式的解集为； 故选：C 典例2-2．（2022·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知集合，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再由，列不等式组可求得结果. 【详解】， 或， 因为， 所以，解得， 故选：C 典例2-3．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据二次方程根的分布可得式子，计算即可. 【详解】令 由题可知