第13讲 指数函数-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

第13讲 指数函数 【知识梳理】 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【典型例题】 考点一：指数函数的定义 1. （2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件. 故选：C． 2. （2018秋•西安区校级期中）函数y＝8﹣23﹣x（x≥0）的值域为　[0，8）　． 【分析】把函数式进行等价变形，利用此函数是个增函数（因为 是减函数，故8﹣是增函数），求出函数的值域， 【解答】解：y＝8﹣23﹣x＝8﹣ （x≥0）， 在[0，+∞）上是个增函数，故x＝0时，函数有最小值0， 当x趋向正无穷大时，函数值趋于8， 故函数的值域是[0，8）． 【点评】本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域的方法，体现了转化的数学思想． 3. （2019秋•江阴市期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为　[﹣1，0]　． 【分析】函数定义域为R可转化成≥0恒成立，即x2+2ax﹣a≥0恒成立，根据判别式可求出所求． 【解答】解：∵函数定义域为R ∴≥0恒成立即x2+2ax﹣a≥0恒成立 则Δ＝（2a）2+4a≤0，解得﹣1≤a≤0 故答案为：[﹣1，0] 【点评】本题主要考查了函数的定义域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的能力，属于基础题． 考点二：单调性 4. （2022·江苏省天一中学高一期末）已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在上的单调递增，可知，由此即可求出结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得. 故选：D. 5. （2022·江苏·高一）已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围． 【详解】依题可知函数在上是增函数， ∴，解得． 故选：B． 6. （多选）（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）函数在下列那些区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，在 上递减，在 上递增， 又 在R上递减， 所以函数在 上递增，在 上递减， 故选;ABD 7. （2021秋•姜堰区校级期中）已知，，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　） A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a 【分析】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小． 【解答】解：a＝（）﹣0.3＝（）0.3∈（0，1），c＝（）∈（0，1）且（）0.3＞（），b＝1.10.7＞1， 所以b＞a＞c． 故选：C． 考点三：函数性质应用 8. （2020秋•江阴市校级期中）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，一定有（　　） A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1， ∴0＜a＜1，且b＜0． 故选：A． 9. （2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式判断分段函数的单调性，根据单调性有在上恒成立，求a的范围. 【详解】由在上递增，值域为， 在上递增，值域为， 所以在定义域上递增，且值域为， 由题设不等式恒成立，即， 故在上恒成立， 所以. 故选：D 10. （2022·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到函数