重难点专题11 指数函数的图像和性质七大题型（专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

重难点专题11 指数函数的图像和性质七大题型 重难点一指数函数定义域和值域 核心方法：定义域抓限制条件，值域用单调性转化，定义域需满足根式（被开方数非负）、分式（分母不为 0）等条件；值域通过换元法转化为二次函数或基本函数值域，结合指数函数单调性求解。 1.函数的定义域为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．由函数解析式可得且，由此求得的范围即可得到函数的定义域．  【解答】 解：由函数的解析式可得， 解得， 故函数的定义域为 ． 故选A． 2.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了复合函数的值域，属于中档题． 先分解函数，再配方求出二次函数的值域，最后根据指数函数的单调性即可求出值域． 【解答】 解：设， 则， 因为为减函数， 所以， 即函数的值域为． 故选A． 3.函数的定义域、值域是(    ) A. 定义域是，值域是 B. 定义域是，值域是 C. 定义域，值域是 D. 以上都不对 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求函数的定义域和值域，属于基础题． 根据题意，可得定义域为，得出，进行求解即可． 【解答】 解：因为函数，所以其定义域为， 因为，所以，所以函数的值域为， 故选：． 4.函数的定义域为          ；值域为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了指数型函数的定义域及值域，属于基础题． 根据根式内部的代数式大于或等于及指数函数的性质可求解定义域或值域． 【解答】 解：由题，即， 解得 由且，可得． 故答案为． 5.若”，”为真命题，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查命题的真假应用，分离常数法，运用基本不等式求解，属于基础题． 先进行分离常数得到在上恒成立，进而运用基本不等式求解． 【解答】 解：，”为真命题，即在上恒成立， 因为当且仅当，即时取“”， 所以实数的取值范围是． 6.函数的值域为          ． 【答案】  【解析】解：因为，所以． 故答案为 ． 7.函数的值域为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了复合函数的性质，运用换元法求解． 设，得，转化为，根据单调性求解． 【解答】 解：设， ， 函数， ， 根据单调性可知：， 即函数的值域为． 故答案为． 8.已知函数且，则必过的定点的坐标为            ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数函数图象过定点问题，属于基础题． 令，计算出对应以及，即可求得答案． 【解答】 解：函数且， 令，得，则， 必过的定点的坐标为． 故答案为：． 9.已知函数，． 当时，求函数的值域； 设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，，， 令， 因为，则， 所以，其中， 所以当时，， 当时，， 即， 所以的值域为 因为，， 设， 则在单调递减，在单调递增， 由复合函数单调性得：在单调递减，在单调递增， 故， 因为对任意，存在，使得成立， 则， 所以在上恒成立， 令， 因为，则， 即在上恒成立， 则在 上恒成立， 而在 上单调递增， 故， 所以， 即．  【解析】本题考查指数函数的定义域、值域、利用函数的单调性求最值，属于难题． 将代入，利用换元法求解即可； 由题意可得，利用换元法求出函数在上的最小值，代入求解即可． 10已知函数． 求函数的定义域若，求的值． 【答案】解：要使函数有意义，则， 得， 函数的定义域为； 依题意有 即， 故， 解得．  【解析】本题考查函数定义域的求法，指数函数的单调性以及指数幂的运算法则，属于基础题． 利用偶次根式的被开方式非负，列出不等式，即可求解； 根据题意，求出，即可求解． 11已知指数函数在其定义域内单调递增． 求函数的解析式； 设函数，当时．求函数的值域． 【答案】解：是指数函数，且在其定义域内单调递增， ， 解得或舍， ，， ，令，， ，， ， ， 的值域为．  【解析】本题考查了指数函数的图象与性质和一元二次函数的图象与性质，属于基础题． 由指数函数的定义得，解出，可得函数的解析式 ，令，，由二次函数性质可得函数的值域． 重难点二判断或画指数函数的图像 核心方法：定底数符号 + 单调性 + 特殊点，先由底数判断单调性，再结合过定点、与坐标轴交点等特殊点，排除不符合特征的选项；复合函数需拆分内层外层函数性质分析。 1.如图所示，函数的图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数的图象和性质，解题时可利用排除法进行求解． ，由时，；时，排除错误选项． 【解答】 解：， 时，，排除选项D， 时，，排除选项A，， 故选：． 2.二次函数与指数函数的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查一元二次函数的图象与性质、判断或画指数函数的图象，属于基础题． 根据二次函数的对称轴首先排除、选项，再根据指数函数的单调性推出二次函数零点的位置即可得出答案． 【解答】 解：根据指数函数可知，同号且不相等， 则二次函数的对称轴可排除与； 选项C，的两个零点为和， 由于指数函数单调递减，则有，，故C不正确． 故选：． 3.函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的图象和性质． 结合指数函数的性质，从而恒成立，求得结果． 【解答】 解：因为， 所以，即， 故选A． 4.已知函数的图象如图所示，则函数的图象是(    ) A. B. C. D. ． 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题． 先由函数的图象判断，的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案． 【解答】 解：由二次函数的图象可知，，， 则为减函数，排除， 当时，，排除， 故选：． 5.若函数的图像如图所示，则的图像可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查指数型函数的图像与一元二次函数的图像，属于中档题． 根据函数图像判断得到，再根据函数图像的平移法则得到答案． 【解答】 解：根据函数的图像知：， ，根据函数图像平移法则知：满足条件． 故选． 6.函数，且的图像可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查函数图像的识别和判断，属于基础题． 利用指数函数的图像和性质，分情况讨论，进行判断即可． 【解答】 解：函数，，且， 当时，为增函数，此时，则； ，排除，， 当时，为减函数，此时，则； ，排除， 故只有符合要求， 故选：． 7.已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查简单的幂函数的图象与性质，判断或画指数函数的图象，属于基础题． 根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可． 【解答】 解：对于、，，函数过定点，且单调递增， 故B，都不符合， 对于、，，函数在上单调递增，， 故A符合，不符合． 故选：． 8.指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由指数函数的图象可知， 而二次函数的图象的对称轴为，所以，故D错误； 令，解得，，则，故B、C错误． 故选：． 9.已知函数，且恒过定点，则在直角坐标系中函数  的图象为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数图象的应用，根据函数，且恒过定点，确定和的值得到，再根据函数的对称性和最值情况排除、、，即可得到答案． 【解答】 解：函数，且恒过定点， 故，，图象关于直线对称，排除，； ，故时，函数取得最大值为，排除． 故选D． 10.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 根据函数解析式找图象，一般可通过特殊点，单调性，奇偶性，趋近性等角度，运用排除法求解．本题中容易判断函数为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项B；当时，，故排除选项C；当时，，当时，，即，通过观察图象可以排除选项；由此即可得解． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质及特点，运用排除法是解决本题的关键，属于中档题． 【解答】 解：函数定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，则其图象关于原点对称，故排除； 当时，，故排除； 当时，，当时，，即，故排除； 故选：． 11已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【解析】解：因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增， 又恒成立，所以图象在轴上方，故A符合题意； 对于，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减， 又恒成立，所以图象在轴上方，故B符合题意； 对于，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减， 又恒成立，所以图象在轴下方，故C符合题意； 对于，由图象结合一次函数图象性质可知，， 又恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意． 故选： 重难点三 指数函数图像过定点问题 核心方法：令指数为 0 消参，无论底数，令指数部分等于 0，求出x值，代入函数得纵坐标，即定点坐标（横定纵定）。 1.已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了指数函数过定点问题，以及利用基本不等式求最值，是基础题． 由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得，的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【解答】 解：由，解得， 又， 所以函数过定点为， 代入直线中， 得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 2.已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查指数函数过定点问题，属于基础题． 令幂指数等于零，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 【解答】 解：对于函数， 令，可得， 可得它的图象恒过定点， 故选：． 3.已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数图象过定点问题，属于基础题． 根据指数函数的图象与性质，判断即可． 【解答】 解：函数中， 令，解得， 所以， 即过定点． 故选：． 4.已知函数，则(    ) A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性及其应用，属于中档题． 由奇偶性定义判断；根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断；由复合函数的单调性判断；计算后即可判断． 【解答】 解：当时，，该函数的定义域为， 由，可知为偶函数，故A正确； ， ，则有最大值，没有最小值，故B错误； 在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，结合复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 当时，，则的图象恒过定点，故D正确． 故选：． 5.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是          ，且函数恒过定点          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，是解答的关键，考查了指数函数图象过定点问题． 若对任意的实数都有成立，则函数在上单调递增，进而可得的范围由，得，进而得出定点． 【解答】 解：对任意的实数都有成立， 函数在上单调递增， ， 解得：， 由题意，，得，则， 则恒过定点． 故答案为． 6.若函数的图像过定点，且点在幂函数上，则           ． 【答案】  【解析】解：由函数的图像过定点，且点在幂函数上， 即，解得，所以，解得，又因为，所以． 故答案为：． 7.函数的图象一定过定点，则点的坐标是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数函数图象过定点问题，函数图象的平移、对称变换，属于基础题． 通过图象的平移变换得到与的关系，据的图象恒过得到恒过． 【解答】 解：的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移个单位而得到， 且一定过点， 则应过点． 故答案为． 8.函数且的图像恒过定点          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数函数的性质，是基础题． 由指数函数图象恒过，再结合函数的图象平移得答案． 【解答】 解：函数的图像恒过定点， 而函数且的图象是把向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 函数且的图像恒过定点， 故答案为：． 9.若函数，且的图象过定点，则点的坐标为           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了含有参数的指数型函数过定点的问题，属于基础题． 取，利用，得，即可求出函数的图象所过的定点． 【解答】 解：当时，， 函数的图象一定经过定点． 故答案为． 10.已知函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了指数型函数过定点问题，考查了基本不等式的应用，是中档题． 先令，求出点的坐标，代入一次函数得，由题意可知，，所以，再利用基本不等式即可求出结果． 【解答】 解：函数， 令，得：，此时， 所以函数的图象恒过定点， 又点在一次函数的图象上， ，即， 又实数，满足， ，， ， 当且仅当即时，等号成立， 即，时，取得最小值， 故答案为：． 重难点四、指数函数的单调性与最值 核心方法：复合函数 “同增异减”+ 换元法，外层指数函数单调性由底数决定，内层函数若为二次函数，需结合对称轴判断单调区间；最值问题通过换元转化为二次函数或基本函数，结合定义域求最值。 1.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的单调性，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性是解决本题的关键． 利用换元法结合复合函数单调性的解法进行求解即可． 【解答】 解：， 设，为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：． 2.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题． 函数定义域为，，得奇函数，分别判断，的单调性，两个增函数的和仍为增函数． 【解答】 解：因为，且定义域为， 所以， 即函数是奇函数． 又在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数． 故本题选A． 3.下列函数中，在区间上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题． 根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案． 【解答】 解：根据幂函数图像与性质可知，对选项在单调递增，故A错误， 对选项在单调性递增，故D错误， 根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确， 根据对数函数图像与性质可知在单调性递增． 故选：． 4.若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性与单调区间的相关知识，试题难度容易，根据指数函数的性质可得答案． 【解答】 解：由题意，函数为实数集上的增函数， 则函数为指数函数且底数，解得． 故选B． 5.已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，一次函数单调性，指数函数单调性，属于中档题． 由题意可得在 上单调递增，在上单调递增，且，列出关于的不等式组求解即可． 【解答】 解：因为函数是上的单调递增函数， 所以在 上单调递增，在上单调递增，且， 所以解得：， 故实数的取值范围是 故答案为． 6.函数的单调增区间为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，属于基础题． 利用复合函数的单调性法则即可求解． 【解答】 解：因为在递减，在递增， 在上为增函数， 故由复合函数的单调性法则可知函数的单调增区间为 7已知函数为奇函数． 求的值； 判断并证明的单调性； 若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． 【答案】解：函数的定义域为， 则，解得， 此时，经检验符合题意， 故的值为； 在上单调递减，证明如下： 由知， ，，且， 则 ， 因为， 所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； 由题知： 当恒成立， 则， 令，， 所以， 又， 当且仅当时等号成立， 而，所以，则， 所以实数的取值范围为．  【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，复合型指数函数，由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 由求解的值，再检验即可； 根据单调性的定义判断和证明即可； 将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可． 7设函数． Ⅰ若，求实数的值； Ⅱ判断函数的奇偶性，并证明你的结论； Ⅲ若对于恒成立，求实数的最小值． 【答案】解：Ⅰ因为，所以，所以且， 所以，所以； Ⅱ为奇函数，证明如下： 因为，所以定义域为关于原点对称， 又因为，所以为奇函数； Ⅲ因为， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以， 又因为对于恒成立， 所以，即． 所以得最小值为．  8.已知函数与函数，若两函数图像有且只有一个公共点，则的取值范围是          若两函数图像有个公共点，则的取值范围是           【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数图象的应用、指数函数及其性质的相关知识，中档题． 根据题意做出函数的图象即可求解． 【解答】 解：当时，作出函数图象： 若直线与函数的图象有且只有一个公共点， 由图象可知或，解得或舍去； 当时，有个交点，解得， 又，所以． 故答案为：；． 9.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题． 根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值，据此列不等式组求解即可． 【解答】 解：函数是上的增函数， 所以 解得． 故答案为： 10.若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：因为，，当时，，故必过第一、第三、四象限， 所以只需不经过第二象限， 当时，，由，可得恒成立， 当时，上式成立， 当时，取，不合题意， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 11.函数在上的最大值为，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查含指数函数的最值问题，属于中档题． 分，，，利用图像平移的性质结合指数函数计算即可． 【解答】 解：如图，当时，函数，在上的最大值为，满足题意， 如图，当时，函数图象是由向下平移个单位后， 再把轴下方的图象对称到上方，再向上平移个单位，根据图象可知满足题意， 如图，时不合题意． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 12.设函数为常数若为奇函数，则          ；若是上的增函数，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于一般题． 对于第一空：由奇函数的定义可得，即，变形分析可得的值； 对于第二空：利用单调性定义，转化为恒成立问题，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数， 若为奇函数，则，即，变形可得， 若是上的增函数，则对任意，都有恒成立， 变形可得：恒成立，且恒成立， 所以，即的取值范围为； 故答案为；． 13.若函数的最大值为，则          ，          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数函数及二次函数的最值问题，属于基础题． 设，对称轴为，由二次函数的知识分类讨论可得答案． 【解答】 解：由题设，对称轴为， 讨论的取值， 得，当时，． 故答案为， ． 【解析】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题． Ⅰ将代入解析式，解指数方程即可求出得值； Ⅱ先判断奇偶性，然后分析定义域并计算、得数量关系，结合定义可得结论； Ⅲ先求出在上得最大值，再根据要使对于恒成立，即，求出得最小值即可． 重难点五 利用指数函数的图像和性质比较大小 核心方法：同底数看单调性，同指数看底数，不同则找中间值，同底数时利用指数函数单调性比较；同指数时利用幂函数单调性比较；两者均不同时，借助中间值（如 1、0）搭桥判断。 1.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数的图象与性质比较大小，属于基础题． 【解答】 解：设函数，， 则函数、的定义域均为． 因为， 所以函数在上单调递增， 又因为当时，， 所以．． 因为， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 所以．．， 综上所述，，故本题正确答案为． 2.如图，，，，根据图象可得、、、与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查指数函数的图象与性质，属于中档题． 可在图象中作出直线，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出、、、与的大小关系，选出正确选项． 【解答】解：由图，直线与四条曲线的交点坐标从下往上依次是，，，， 故有， 故选：． 3.若，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用幂函数的图象与性质比较大小，利用指数函数的图象与性质比较大小，属于基础题． 根据指数函数、幂函数的单调性判断即可． 【解答】 解：因为， 所以由幂函数在上单调递增可知，， 由指数函数为增函数知，， 所以． 故选：． 4.若，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】  本题考查利用指数函数和幂函数的性质比较数的大小，属于基础题． 解题时直接利用指数函数和幂函数的性质，可以求出结果． 【解答】 解：因为为减函数，故， 又在上为增函数， 故，即， 即． 故选C． 5.已知，，，则下列正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数性质比较大小，属基础题． 【解答】 解：由，及指数函数单调性，得， ，，，， 故，选A． 6.已知，，，则下列关于，，大小关系正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查比较大小，属于基础题． 利用函数的单调性比较大小即可． 【解答】 解：， 因为函数是上的单调递增函数， 又， 所以， ． 故选A． 7.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查指数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 根据幂函数、指数函数的单调性判断． 【解答】 解：因为  ，  ，  ， 又  ，  在  上单调递增， 所以  ． 综上，  ． 故选：． 8.已知，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由，知为偶函数，故， 当时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 因此在上单调递增， 因指数均为，底数越大幂越大，故，即， 故，即． 故选D． 9.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用． 由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断． 【解答】 解：因为，，， 所以， 当且仅当时取等号，A正确； 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 故，B正确； ，C错误； ， 当且仅当且即时取等号，D正确． 故选：． 10.设，，，且，则下列不等式成立的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查不等式性质，考查指数函数及其性质，属于基础题． 根据不等式的性质对个选项进行分析即可得到答案． 【解答】 对，当时不成立，故A错误； 对，当，时不成立，故B错误； 对，因为，两边同时减去有成立，故C正确； 对，因为，又为增函数，故成立，故D正确． 故选：． 11.若，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查利用函数的单调性比较大小，属于一般题． 先由  变形为  ，构造函数  ，利用其单调性，得到，的大小关系，再逐项判断． 【解答】 解：由  得  ，令  ，则  ，因为  ，  在上都是增函数，所以  在上是增函数，所以  ，故A正确； 当  ，  时，  ，故B错误； 由  知  ，故C正确； 因为  在上递减，由  知，  ，即  ，故D正确； 故选ACD． 重难点六利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：化同底数 + 脱壳保号，先将不等式两边化为同底数指数形式，再根据指数函数单调性 “脱壳” 转化为整式不等式，注意定义域和偶次根式、绝对值等附加限制条件。 1.已知函数，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的解法，指数函数的图象和性质，属于中档题． 不等式即由于函数和直线的图象都经过点、，数形结合可得结论． 【解答】 解：不等式，即． 由于函数和直线的图象都经过点、，如图所示： 不等式的解集是， 故选：． 2.设函数则满足的的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查分段函数，函数图像的应用，属于中档题． 作出函数的图像，要使，则或，解出即可． 【解答】 解：作出函数的图像如图所示， 要使， 则或 即或． 因此． 故选：． 3.已知定义在上的奇函数，则          ；不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，分段函数求函数值，解不等式． 由奇函数关于原点对称的性质，，利用奇函数的定义求，利用单调性得，分段求解． 【解答】解：因为是奇函数， 故； 当时，则，故， 当时，，易知为减函数， 所以在上是减函数， 又因为， 由，得， 所以或 解得或， 故解集为 ． 故答案为 ． 4.不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查知识点为利用指数函数单调性解不等式，属于基础题． 根据题意得到，解出即可． 【解答】 解：原不等式可化为， 由于是减函数， 所以，即， 解得． 故答案为． 5.，则满足的实数的取值范围是          。 【答案】  【解析】解： 当时： ，不等式为， 移项得，两边乘消分母得， 因式分解：， 故解得满足； 当时： ，不等式为， 因是减函数底数，故等价于满足， 故满足的实数的取值范围是 故答案为． 6.已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数的单调性解不等式，属于一般题． 由为偶函数，求出函数解析式，分类讨论解不等式即可． 【解答】 解：函数为上的偶函数，当时，， 当时，，， 当，即时，， 由，时，符合题意； 时，有，解得，此时； 时，有，解得，此时； 所以符合题意． 当，即时，， 由，，得，解得， 所以． 综上所得，的解集为． 故答案为：． 7.已知定义域为的函数是奇函数． 求实数的值； 判断函数的单调性，并用定义加以证明； 若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】解函数是奇函数，定义域为， ， 解得． 当时，满足，是奇函数， 故． ， 设，，， ， 在上是增函数，且， ， 又， ，即， 故在上单调递增； 任意的，不等式，即， ，即， ， ，当且仅当成立， ． 实数的取值范围为．  【解析】本题考查函数的奇偶性，函数单调性的证明和应用，函数恒成立问题，基本不等式等，属于中档题． 令可求得的值； 利用单调性定义证明； 利用单调性和奇偶性，转化为求，利用参数分离法求出． 8.已知函数为奇函数． 求的值 判断在上的单调性，并用定义证明 已知，求实数的取值范围． 【答案】解：函数为奇函数，定义域为， ，即，经验符合题意； 在上单调递减，证明如下： 由得， 设任意，则， ，，， ，，， ， 在上单调递减； ，， 是奇函数，， 在上单调递减， ，， 即的取值范为：．  【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题． 利用奇函数定义求得结果； 设，由可得单调性； 利用奇偶性和单调性将不等式化为，解不等式即可求得结果． 9.已知定义在上的函数，其中，，且． 试判断函数的奇偶性，并证明你的结论； 解关于的不等式：． 【答案】解：函数为奇函数． 证明：函数的定义域为， ， 即对任意恒成立． 所以为上的奇函数． 由，得，即． 因为，，且，所以且 由，得． 当，即时，解得 当，即时，解得 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．  【解析】本题考查函数的奇偶性和指数不等式的求解，属于中档题． 求出函数的定义域，由函数奇偶性的判断方法可得答案； 可化不等式为，对底数进行分类讨论结合对数的运算可得不等式的解集． 重难点七 利用指数函数的图像和性质求参 核心方法：单调性约束 + 最值 / 定点条件，根据指数函数单调性列出底数、指数部分的不等式，结合过定点、最值、恒成立等条件，通过换元法、分离参数法求解参数范围。 1关于的不等式恒成立，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为函数是增函数，所以当时，；当时，；当时，． 所以不等式恒成立，等价于恒成立． 所以． 故选：． 2若指数函数的图象与射线相交，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道一般题． 结合指数函数的性质，通过讨论的范围，从而得到结论． 【解答】 解：当时，代入射线得， 若，指数函数的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当时，，所以， 若，则可知两图象在第一象限一定有交点， 综上，或， 故选：． 3.如果函数且在区间上的最大值是，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复合型指数函数的性质，由函数的最值求参，属于中档题． 利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可． 【解答】 解：令， 则， 当时，函数在定义域上为增函数， 因为，所以， 因为， 故函数在上单调递增， 所以， 解得舍去． 当时，函数在定义域上为减函数， 因为，所以， 因为， 故函数在上单调递增， 则， 解得舍去． 综上，或． 故选：． 4.已知函数是奇函数，． 求的值； 判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； 求不等式的解集． 【答案】解：因为函数是奇函数，所以， 则，解得：． 在上单调递减证明过程如下： 证明：任取， 则 ， 因为单调递增，所以， 所以，所以， 即在上单调递减． ，则， 因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有， 所以在上有． 由可知，不等式可化为． 由在上单调递减，可得：， 由得或，由得， 故或． 所以原不等式的解集为． 5已知函数是定义在上的奇函数． 求实数的值； 求不等式的解集； 若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即， 因为，所以，所以经检验，符合题意． 由得， 因为与在上均为增函数，所以在上为增函数， 又，所以不等式即为， 所以，即， 所以， 所以不等式的解集为； 因为关于的不等式恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 所以， 因为， 所以当，即时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围是  【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式、不等式恒成立问题，涉及指数运算及二次函数的最值，属于中档题． 根据函数为奇函数，由求出 判定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可； 先将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质求的最小值即可． 6.已知函数，且满足． 求的值； 解不等式． 【答案】解：由，可得，． 因为，所以， 解得或舍去． 故． 由知． 令，得到， 即，解得， 所以不等式的解集为．  【解析】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题． 由，得到，再求出的值； 根据条件得到，再解不等式即可． 7.已知函数． Ⅰ若，求在的最大值； Ⅱ若函数在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ， 二次函数的对称轴，  ， 所以函数在上是增函数，在上是减函数 故的最大值为                           Ⅱ因为函数在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以．  【解析】本题主要考查的是函数的性质，函数的增减性，复合函数的增减性，函数的最值的有关知识． 根据得到二次函数的对称轴，进而求出函数的增减性，从而求出最值； 根据函数在上是增函数，得到在上是增函数，从而解出此题． 8.定义在上的奇函数，已知当时，． 求在上的解析式 若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：是定义在上的奇函数， ．． 当时，， 设，则， ． 为奇函数，． 时，． 当时，不等式恒成立， 即，，上恒成立． 设，． 则在上单调递减， ， 实数的取值范围为．  【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 由题意可得，求得，再由奇函数的定义，结合已知解析式，可得在上的解析式； 由题意可得时，不等式恒成立，由参数分离和指数函数的单调性，结合恒成立，可得的取值范围． 9已知奇函数的定义域为 求实数的值；    判断函数的单调性，并用定义证明； 当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】解：是奇函数， ，即， ，整理得， ，解得：，故， 函数的定义域为，关于原点对称，故； 函数在上单调递增  证明如下：任取，，且， 则 ， ， ， 又， ， ， 在上单调递增； 当时，， 由可得， 即当时，， 令， 则， ， 当且仅当时等号成立， 所以 实数的取值范围．  【解析】本题考查函数的奇偶性运用和单调性的判断，不等式恒成立，求函数的最值，考查运算能力，属于较难题． 由函数为奇函数得出关系式求出的值，再由函数的定义域为得出的值； 利用函数的单调性的定义法证明出函数的单调性； 分离参数转化为基本不等式求最值即可求出的取值范围． 10已知函数，且． 求的值 证明：在上单调递增 求在上的最小值． 【答案】解：由题意得，， 则 ． 证明：设， 则 ， 因为， 所以在上单调递增且， 又， 则，所以， 故， 故在上单调递增． 由知，在上单调递增， 可得的取值范围为，即， ，， 当，即时， 当，即时， 当，即时， ， 故．  【解析】本题考查复合型指数函数，证明函数的单调性，二次函数的最值问题等知识，属于中档题． 由题意得，由此即可求出； 利用函数单调性的定义并结合指数函数的单调性即可证明； 由知的单调性，即可得出的取值范围，则，再分类讨论并利用二次函数的性质即可求出的最小值． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题11 指数函数的图像和性质七大题型 重难点一指数函数定义域和值域 核心方法：定义域抓限制条件，值域用单调性转化，定义域需满足根式（被开方数非负）、分式（分母不为 0）等条件；值域通过换元法转化为二次函数或基本函数值域，结合指数函数单调性求解。 1.函数的定义域为  (    ) A. B. C. D. 2.函数的值域为(    ) A. B. C. D. 3.函数的定义域、值域是(    ) A. 定义域是，值域是 B. 定义域是，值域是 C. 定义域，值域是 D. 以上都不对 4.函数的定义域为          ；值域为          ． 5.若”，”为真命题，则实数的取值范围是          ． 6.函数的值域为          ． 7.函数的值域为           ． 8.已知函数且，则必过的定点的坐标为            ． 9.已知函数，． 当时，求函数的值域； 设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 10已知函数． 求函数的定义域若，求的值． 11已知指数函数在其定义域内单调递增． 求函数的解析式； 设函数，当时．求函数的值域． 重难点二判断或画指数函数的图像 核心方法：定底数符号 + 单调性 + 特殊点，先由底数判断单调性，再结合过定点、与坐标轴交点等特殊点，排除不符合特征的选项；复合函数需拆分内层外层函数性质分析。 1.如图所示，函数的图象是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数与指数函数的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的图象如图所示，则函数的图象是(    ) A. B. C. D. ． 5.若函数的图像如图所示，则的图像可能是(    ) A. B. C. D. 6.函数，且的图像可能是(    ) A. B. C. D. 7.已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 9.已知函数，且恒过定点，则在直角坐标系中函数  的图象为(    ) A. B. C. D. 10.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 11已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是(    ) A. B. C. D. 重难点三 指数函数图像过定点问题 核心方法：令指数为 0 消参，无论底数，令指数部分等于 0，求出x值，代入函数得纵坐标，即定点坐标（横定纵定）。 1.已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则(    ) A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 5.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是          ，且函数恒过定点          ． 6.若函数的图像过定点，且点在幂函数上，则           ． 7.函数的图象一定过定点，则点的坐标是          ． 8.函数且的图像恒过定点          ． 9.若函数，且的图象过定点，则点的坐标为           ． 10.已知函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为          ． 重难点四、指数函数的单调性与最值 核心方法：复合函数 “同增异减”+ 换元法，外层指数函数单调性由底数决定，内层函数若为二次函数，需结合对称轴判断单调区间；最值问题通过换元转化为二次函数或基本函数，结合定义域求最值。 1.函数的单调递增区间是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 3.下列函数中，在区间上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 4.若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是          ． 6.函数的单调增区间为          ． 7已知函数为奇函数． 求的值； 判断并证明的单调性； 若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． 7设函数． Ⅰ若，求实数的值； Ⅱ判断函数的奇偶性，并证明你的结论； Ⅲ若对于恒成立，求实数的最小值． 8.已知函数与函数，若两函数图像有且只有一个公共点，则的取值范围是          若两函数图像有个公共点，则的取值范围是           9.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是          ． 10.若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是          ． 11.函数在上的最大值为，则的取值范围是          ． 12.设函数为常数若为奇函数，则          ；若是上的增函数，则的取值范围是          ． 13.若函数的最大值为，则          ，          ． 重难点五 利用指数函数的图像和性质比较大小 核心方法：同底数看单调性，同指数看底数，不同则找中间值，同底数时利用指数函数单调性比较；同指数时利用幂函数单调性比较；两者均不同时，借助中间值（如 1、0）搭桥判断。 1.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 2.如图，，，，根据图象可得、、、与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 3.若，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.若，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知，，，则下列正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，，则下列关于，，大小关系正确的是  (    ) A. B. C. D. 7.设，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 8.已知，若，，，则(    ) A. B. C. D. 9.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 10.设，，，且，则下列不等式成立的是  (    ) A. B. C. D. 11.若，则下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 重难点六利用指数函数的单调性解不等式 核心方法：化同底数 + 脱壳保号，先将不等式两边化为同底数指数形式，再根据指数函数单调性 “脱壳” 转化为整式不等式，注意定义域和偶次根式、绝对值等附加限制条件。 1.已知函数，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 2.设函数则满足的的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 3.已知定义在上的奇函数，则          ；不等式的解集为          ． 4.不等式的解集为          ． 5.，则满足的实数的取值范围是          。 6.已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为          ． 7.已知定义域为的函数是奇函数． 求实数的值； 判断函数的单调性，并用定义加以证明； 若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 8.已知函数为奇函数． 求的值 判断在上的单调性，并用定义证明 已知，求实数的取值范围． 9.已知定义在上的函数，其中，，且． 试判断函数的奇偶性，并证明你的结论； 解关于的不等式：． 重难点七 利用指数函数的图像和性质求参 核心方法：单调性约束 + 最值 / 定点条件，根据指数函数单调性列出底数、指数部分的不等式，结合过定点、最值、恒成立等条件，通过换元法、分离参数法求解参数范围。 1关于的不等式恒成立，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2若指数函数的图象与射线相交，则(    ) A. B. C. D. 3.如果函数且在区间上的最大值是，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 4.已知函数是奇函数，． 求的值； 判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； 求不等式的解集． 5已知函数是定义在上的奇函数． 求实数的值； 求不等式的解集； 若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 先将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质求的最小值即可． 6.已知函数，且满足． 求的值； 解不等式． 7.已知函数． Ⅰ若，求在的最大值； Ⅱ若函数在上是增函数，求实数的取值范围． 8.定义在上的奇函数，已知当时，． 求在上的解析式 若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 9已知奇函数的定义域为 求实数的值；    判断函数的单调性，并用定义证明； 当时，恒成立，求的取值范围． 10已知函数，且． 求的值 证明：在上单调递增 求在上的最小值． 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $