考点06 空间几何体的有关计算问题（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点06 空间几何体的有关计算问题 立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。例如：2020年全国卷Ⅰ（文）[19],2020年全国卷Ⅱ（文）[20]，2021年全国甲卷（文）[19]，2021年全国乙卷（文）[18]，2021年新高考Ⅰ卷[20]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国乙卷（文）[18]等都对空间几何体的体积进行了考查。 〔1〕求空间几何体的表面积 (1)求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积. (2)求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的长度关系. (3)求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 〔2〕求空间几何体的体积 1.直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算. 2.割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，把不规则的几何体补成规则的几何体，把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，再进行计算. 3.等体积法：选择合适的底面求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换. 例1．（2022·全国·高考乙卷（文）·18）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 例2．（2022·全国·高考甲卷（文）·18）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 1．（2022·广西南宁·模拟预测（文））如图所示，在空间几何体ABCDE中，△ABC与△ECD均为等边三角形，，，且平面ABC和平面CDE均与平面BCD垂直． (1)求证：平面ABC平面ECD； (2)求空间几何体ABCDE的体积. 2．（2022·广西·模拟预测（文））如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且． (1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）； (2)求点到平面的距离． 3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知平面α和平面β是空间中距离为2的两平行平面，球面M与平面α、平面β的交线分别为圆A、圆B． (1)若平面γ与平面α、平面β的交线分别为，，证明：； (2)若球面M的半径为2，求以圆A为上底面，圆B为下底面的几何体AB的体积的最大值． 4．（2022·四川省南充市高坪中学模拟预测（文））一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为 (1)证明:直线平面. (2)过点的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比. 5．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，且. (1)证明：平面； (2)求四面体的体积. 6．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））如图，在直三棱柱中，点为的中点，点在上，且. (1)证明：平面平面； (2)若，且三棱锥的体积为，求. 7．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求几何体的体积 8．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求： (1)该圆锥的表面积； (2)直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱中，，． (1)证明：平面平面． (2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积． 10．（2022·上海青浦·二模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点． (1)求该圆柱的表面积和体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 11．（2022·上海长宁·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，母线的长为． (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积 (2)是底面圆周上的两个点，， 为线段的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线与平面所成角的大小． 12．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若点在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心，，求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司