考点05 数列的新定义问题（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点05 数列的新定义问题 数列的新定义问题，是近几年高考的新题型，主要北京卷考查比较多。例如：2020年北京高考[21],2020年江苏高考[20],2021年北京高考[21]，2022年北京高考[21]等都对数列的新定义问题进行了考查。 〔1〕新定义数列问题的特点： 通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。 〔2〕新定义问题的解题思路： 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决。 例1．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 例2．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． （1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； （2）若数列是数列，求； （3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 1．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：①，（且）．②的最大值为k． (1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列． (2)若数列满足：，使得成等差数列， ①数列是否可能为等比数列？并说明理由； ②记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，n的值． 2．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k. 3．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列． (1)写出所有满足且的数列； (2)若数列为数列，证明：不可能是等差数列； (3)已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值 4．（2022·广东·模拟预测）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为． (1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）； (2)若，求的前n项和，并证明：． 5．（2022·北京东城·三模）已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列. (1)若，写出一个符合条件的数列A的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前100项和. 6．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知数列为无穷递增数列，且．定义： 数列：表示满足的所有i中最大的一个． 数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…） (1)若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值； (2)若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值； (3)若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列． 7．（2022·北京昌平·二模）已知数列，给出两个性质： ①对于任意的，存在，当时，都有成立； ②对于任意的，存在，当时，都有成立． (1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值； (2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①； (3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列． 8．（2022·北京东城·一模）设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中. (1)对，写出所有具有性质的数列A； (2)对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列； (3)对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个. 9．（2022·北京西城·一模）如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”. (1)下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论） 、、、 、、、