专题3.4 指数运算与指数函数（能力提升卷）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（北师大版2019必修第一册）

专题3.4 指数运算与指数函数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2021·全国·高一专题练习（理））化简 (a>0，b>0)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可. 【详解】 故选：B 2．（2022·上海·高一单元测试）如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c，d大于1，a，b小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以， 故选：D 3．（2021·全国·高一课前预习）若，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，即， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增. 4．（2021·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案. 【详解】由，知是偶函数， 不等式等价为， 当时，，在区间上单调递增， 解得：. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 5．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数(且)，若存在最小值，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解. 【详解】由题意，不妨令，；，， ①当时，在上单调递减， 在上单调递减，易知在上的值域为， 又因为存在最小值，只需，解得，， 又由，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 又因为存在最小值，故， 即，解得，，这与矛盾； ③当时，，易知的值域为，显然无最小值； ④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 6．（2022·海南中学高三阶段练习）已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围. 【详解】由题设，，又， 联立可得：，， 又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增， 所以，在上， 而在上递增，故， 若，则且n为正整数，只需即可. 若，则且n为正整数，不成立； 综上，正整数n的最小值为2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围. 7．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，，则， 令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，当时，，则， ，则，， 构造函数，其中，由，可得， 由于函数在区间上单调递减，则，可得. 二次函数的对称轴为直线， 则函数在区间上单调递增， 当时，，即. 由于以、、为长度的线段都可以围成三角形， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题. 8．（2022·广东·广州市育才中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（    ） A