专题01 半配凑法构造有奇偶性的函数-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 ---半配凑法构造有奇偶性的函数 【专题导航】 在教学函数的奇偶性时，构造有奇偶性的解析函数研究数学问题方面，老师们一般会讲将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．关于常见构造有奇偶性的解析函数的方法还有那些，往往语焉不详，特别是函数的综合性问题，尤其是与导数相结合时，常用半配凑法，很多老师都不清楚.若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x).本专题主要讲半配凑法，供同仁们教学参考，学生备战高考的培优专题.系统归纳构造有奇偶性的解析函数的常见六种方法，详见二轮专题. 题型一 含结构 罗师导航 若函数g(x)为偶函数，定义在R上的函数满足，则为奇函数． 【例1-1】设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，求的取值范围． 【答案】；【分析】构造，由已知条件有，即为奇函数又时，可判断单调递减，结合的规则有即可求的取值范围. 【解析】构造函数，因为， ∴，∴为奇函数， 当时，， 在上单调递减，∴在R上单调递减. ∵存在，所以， ∴，化简得， ∴，即. 【例1-2】已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，解不等式. 【答案】；【分析】结合已知不等式，构造新函数，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解. 【解析】由题意，当时，恒成立，即恒成立， 又由，可得， 令，可得，则函数为偶函数， 且当时，单调递增，结合偶函数的对称性可得在上单调递减， 由， 化简得到， 即，所以，解得，即不等式的解集为.故不等式的解集为. 【例1-3】设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C；【分析】根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求. 【解析】是奇函数，，即， 即，，， .故选：C. 【能力达标训练】 【1-1】已知定义域为的函数，又当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A；【分析】由给定函数等式变形，构造函数，再探讨函数的性质，然后将不等式整理变形为求解即得. 【解析】，， 令，即有，是R上的偶函数，因当时，，则，当且仅当时取“=”，于是得在上单调递增， ， 即，于是得，因此，，解得， 所以所求不等式的解集是.故选：A 【1-2】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A；【分析】构造函数 【解析】令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，于是在上为减函数，而不等式可化为，则，即.选A. 【1-3】设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】；【分析】令，可得，知为上的奇函数；根据可推导得到当时，，结合奇偶性可得单调性；将所求不等式转化为，由单调性可得，从而得到的取值范围. 【解析】由得：， 令，则，为上的奇函数； 当时，由得：，， 在上单调递减；又为奇函数，在上单调递减； 由得：，即， ，解得：，即实数的取值范围为. 【1-4】已知函数的导函数为，且满足．当时，；若，则实数的取值范围是 ． 【答案】；【分析】构造函数，利用导数可得在递减，结合条件可得是奇函数，在上单调递减，进而即得. 【解析】令，则， ∵当时，，故， ∴在递减，而，， ∴，∴， ∴是奇函数，在上单调递减， 若，则， ∴，∴，即. 【1-5】设函数在上存在导函数，对任意的有，且当时，.若的零点有 个． 【答案】2；【分析】先构造函数再求函数F(x)的单调性和奇偶性，再利用函数的性质化简得到a>e，最后利用分离参数数形结合求零点的个数. 【解析】令则所以函数F(x)在上是增函数， 由题得所以函数F(x)是奇函数，且在R上是增函数.因为所以-＜. 所以F(2e-a)＜F(a), 所以2e-a<a,所以a>e.因为所以a= 的图像如图所示，所以当a>e时，g(x)有两个零点. 【1-6】设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】；【分析】根据题意构造函数，推出为奇函数，判断的单调性，即可求得实数的取值范围. 【解析】因为，所以， 令，则， 所以为奇函数，因为时，，所以在上为减函数， 因为为奇函数，所以在也为减函数，令，则，得， 所以在上为减函数，因为， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以，得，所以实数的取值范围为. 【1-7】设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是