专题02 中点四大模型在三角形中的应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

学科呵 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读） 【专题说明】 线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念 有着密切的联系.在几何证明题中也送次出现.那么，如果在题中遇到中点你会 想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还 是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长 中线交平行等的应用。 【方法技巧】 模型1：倍长中线法 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫 做“倍长中线”如下图：此时，易证△ACD≌EDB,进而得到AC=BE且AC//BE. 模型2：平行线夹中点 如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F. 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 模型3：中位线 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中 位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC. 模型4：连接直角顶点，构造斜中定理 【典例分析】 【模型1倍长中线法】 【典例1】【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： B D B D E 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内 经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方 法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是一· A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是 2 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证：AC =BF. 【变式1-1】(1)在△4BC中，AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围. (2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图，在△4BC中，D是BC边上的中点， DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证：BE+CF>EF B D 【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E,连接BE (1)请你添加一个条件使△ACD≌△EBD,并给出证明. (2)若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围. B D 3 学科网学计问原创，法学习更答着！ IP。ZXXK。cOM学科网精品频道全力推荐 【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD． 分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性 质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个 ―三角形也不全等，因此，要证明AB=CD，必须添加适当的缩助线，构造全等三角形或 等腰三角形． 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明。 (1)延长DE到F，使得EF=DE； （2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F， （3）过点C作CF/AB交DE的延长线于F． 【模型2平行线夹中点】 【典例2】如图，已知AB=12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A.AD=5，BC =10，点E是CD的中点，求AE的长． 3c 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式2-1】如图，AB∥CD,∠BCD=90°，AB=1,BC=4,CD=3,取AD的中点E, 连结BE,则BE=一 E C 【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB-BC-CD,其中AB∥CD,在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE=CF,M为BC的中点，连接EM、MF,请问石凳M到石凳 E、F的距离E、MF是否相等？说出你推断的理由. 【变式2-3】如图：已知AB∥CD,BC⊥CD,且CD=24B=12,BC=8,E是AD的中点， ①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之： ②求BE的长 B E 【模型3中位线】 【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC,E是BC中点，AD⊥BD,AC=7,AB=4, 则DE的值为()