专题11 抛物线中的切线问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题11 抛物线中的切线问题 一、考情分析 对于抛物线特别是抛物线,可以化为函数,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点. 二、解题秘籍 (一) 利用判别式求解抛物线中的切线问题 求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用求解. 【例1】（2023届河南省新未来高三上学期联考）已知抛物线C：,直线,都经过点．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线,分别与抛物线C依次交于点E,F和G,H,直线EH,FG与抛物线准线分别交于点A,B,证明：． 【解析】（1）设经过点的直线为：,由消去y,得,,当直线与抛物线相切时,,∵,∴,所以,解得,∴切点为,又∵两切点间的距离为4,∴,即,∴抛物线的标准方程为； （2）设点,,,,设直线：,直线：,联立消去,得,则,同理,,故,,直线EH的方程为,令,得,整理得,同理,,所以,∴． (二) 利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题 求解抛物线在其上一点处的切线方程,可先把化为,则,则抛物线在点处的切线斜率为,切线方程为. 【例2】（2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考）在直角坐标系中,已知抛物线,为直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,当在轴上时,. (1)求抛物线的方程； (2)求点到直线距离的最大值. 【解析】（1）当在轴上时,即,由题意不妨设则, 设过点的切线方程为,与联立得, 由直线和抛物线相切可得,,所以 由得,∴,, 由可得,解得, ∴抛物线的方程为； （2）,∴, 设,,则,又,所以 即,同理可得, 又为直线上的动点,设, 则,, 由两点确定一条直线可得的方程为, 即,∴直线恒过定点, ∴点到直线距离的最大值为. (三) 抛物线中与切线有关的性质 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线, 则(1)切线交点在准线上 (2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴 (3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直 (4) 切线交点与焦点连线与焦点弦垂直 (5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 反之： (1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦 (2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径． 【例3】已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,,是C的两条切线,A,B是切点．当轴时,． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：． 【解析】（1）由题意,,当轴时,将代入有,解得,又故,解得. 故抛物线C的方程为. （2）由（1）,设,直线的方程为,联立抛物线方程有,故. 又抛物线方程,故,故切线的方程为,即,同理可得切线的方程为,联立可得,解得,代入有,代入韦达定理可得. 故当时有,当时,因为,故,也满足.故恒成立.又,故. 所以,,故,故,故,即,即得证. 【例4】已知直线过原点,且与圆交于,两点,,圆与直线相切,与直线垂直,记圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过直线上任一点作的两条切线,切点分别为,,证明： ①直线过定点； ②． 【解析】（1）如图,设, 因为圆与直线相切,所以圆Ａ的半径为． 由圆的性质可得,即,化简得． 因为与不重合,所以, 所以的方程为． （2）证明：①由题意可知,与不重合． 如图,设,,则, 因为,所以切线的斜率为, 故,整理得． 设,同理可得． 所以直线的方程为, 所以直线过定点． ②因为直线的方程为, 由消去得, 所以,． 又 , 所以． 三、跟踪检测 1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与E相切于点A. (1)当,时,求E的方程； (2)若直线与l平行,与E交于B,C两点,且,设点F到的距离为,到l的距离为,试问：是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的正半轴上,直线l：经过抛物线C的焦点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线,两条切线相交于点P,求△ABP面积的最小值． 3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线的焦点是,如图,过点作抛物线的两条切线,切点分别是和,线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆,交直线于,求 的取值范围． 4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E：（）上一点到其焦点F的距离为2． （1）求实数的值； （2）