专题10 圆锥曲线与向量的交汇-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题10 圆锥曲线与向量的交汇 一、考情分析 平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中. 二、解题秘籍 (一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略 1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为； 2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. 3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+). 4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. 5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. 6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在. 7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式. 【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点,,动点在轴的投影为,且,记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)过点的直线与曲线在轴右侧相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点,试问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由. 【解析】（1）设,则,,,. 因为,所以, 故的方程为. （2）由题可知直线的斜率一定存在,且不为0, 不妨设直线的方程为,,. 联立方程组,消去整理得, 则,整理得. ,, 则线段的垂直平分线的方程为, 令,得,则, . 则. 故是定值,该定值为. (二) 把点共线问题转化为向量共线 此类问题通常是把点共线转化为,或点C在直线AB上. 【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆的左､右顶点分別为,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足. （1）求椭圆C的方程； （2）证明：M,F,N三点共线. 【解析】（1）椭圆C的右焦点为,且离心率为, ∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3, ∴椭圆C的方程为. （2）由（1）知,的坐标分别为,设, ∴,,,, ∵,, ∴三点共线,三点共线,即,整理得,两边平方得,①又M,N在椭圆上,则,代入①并化简得, 又,, ∴要证M,F,N三点共线,只需证,即,只需证,整理得, ∴M,F,N三点共线. (三) 利用向量共线求双变量的关系式 此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量. 【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆的方程为,过椭圆左焦点且垂直于轴的直线在第二象限与椭圆相交于点,椭圆的右焦点为,已知,椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点,交轴于点,若,,求证：为定值． 【解析】（1）依题可知：,, 所以,即, 解得 又∵椭圆过点,则 联立可得, 椭圆的标准方程为． （2）设点、,, 由题意可知,直线的斜率存在,可设直线的方程为, 联立,可得, 由于点在椭圆的内部,直线与椭圆必有两个交点, 由韦达定理可得,, ,,, 得,, ,, ． (四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形 若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆经过点,左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于两点,点满足（为原点）,求四边形面积的最大值. 【解析】（1）设椭圆的焦距为,则, 又因为椭圆经过点,所以, 又 ,,, 所以椭圆的方程为. （2）因为,所以四边形为平行四边形, 当直线的斜率不存在时,显然不符合题意； 当直线的斜率存在时,设直线的方程为, 与椭圆交于,两点, 由. 由 , , , 令,则（由上式知）, ,当且仅当,即时取等号. ∴当时,平行四边形的面积最大值为2. (五) 把向量的数量积转化为代数式 若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标