精品解析：重庆市两江育才中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆两江育才中学高2021级2022年秋第一次月考 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（每小题5分，其中1-8题为单选，9-12题为多选，共60分） 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 每年的10月10日为“辛亥革命”纪恋日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三（ ） A. 10人 B. 12人 C. 14人 D. 16人 3. 设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A 内有无数条直线与平行 B. ，平行于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一个平面 4. 在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 为名学校甲、乙、丙三名领导到高二1班，高二2班，高二3班三个班听课，每个人只能去一个班，每个班必须有领导去，则甲恰好去高二3班听课的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆柱形容器内盛有高的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（ ） A. 72 B. C. D. 9. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ） A. 至多有1个白球；都是红球 B. 至少有1个白球；至少有1个红球 C. 恰好有1个白球；都是红球 D. 至多有1个白球；全是白球 10. 为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计正确的是（ ） A. 众数为82.5 B. 80百分位数为91.7 C. 平均数为88 D. 没有一半以上干部的成绩在80～90分之间 11. 已知为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A. B. 复数，则 C. 若复数，则， D. 若，，则的充要条件是 12. 设为外心，且满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知为坐标原点，点，，若与共线，则实数_____． 14. 过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______． 15. 已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是____________. 16. 甲、乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏．规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为，求______，求与的关系，______． 三、解答题（共70分） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. （1）试用表示向量； （2）求BM的长. 18. 如图，直三棱柱中，为中点. （1）证明：平面； （2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知直线，直线 （1）若，求； （2）当时，设直线的斜率分别为，求的最小值． 20. 如图，在四边形中，，．且______；在①、②、③中选一个作为条件，解答下列问题；①；②；③． （1）求四边形面积； （2）求的值． 21. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2． （1）求样本容量和频率分布直方图中的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率． 22. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为中点，是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （