第12讲 幂函数-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 【知识梳理】 知识点1 幂函数 (1)、幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)、常见的5种幂函数的图象 (3)、幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点2 幂函数的图像与性质 （1）、幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①、α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②、幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 （2）、利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 【典型例题】 考点一：幂函数定义 1. （2021·江苏·高一单元测试）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 所以相应曲线的依次为. 故选：A 考点二：单调性 2. （2022·江苏省天一中学高一期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或 故必要性不成立 因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件 故选：A 3. （2021·江苏·高一专题练习）下列命题中， ①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝