课时达标50 利用空间向量求空间角（Word练习）- 【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

课时达标(五十) 1．将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，A长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　以O为坐标原点建系如图所示， 则A(0,1,0)，A1(0,1,1)，B1，C. 所以＝(0,0,1)，＝(0，－1，－1)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－， 所以〈，〉＝，所以异面直线B1C与AA1所成的角的大小为.故选B项． 2．(2020·北京)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点． (1)求证：BC1∥平面AD1E； (2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值． 解析 (1)证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB綊DC，D1C1綊DC，所以AB綊D1C1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1.又AD1⊂平面AD1E，BC1⊄平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E. (2)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)，E(0，2,1)，＝(0,0,2)，＝(2,0,2)，＝(0,2,1)． 设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，由可以得到令z＝－2，则x＝2，y＝1，所以n＝(2,1，－2)． 设直线AA1与平面AD1E所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 3．(2020·天津)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点． (1)求证：C1M⊥B1D； (2)求二面角B－B1E－D的正弦值； (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． 解析 依题意，以C为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0，2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)． (1)证明：依题意得，＝(1,1,0)，＝(2，－2，－2)，从而·＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D. (2)依题意得，＝(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，＝(0,2,1)，＝(2,0，－1)． 设n＝(x，y，z)为平面DB1E的法向量， 则即 不妨设x＝1，可得n＝(1，－1,2)． 因此有cos〈，n〉＝＝， 于是sin〈，n〉＝. 所以二面角B－B1E－D的正弦值为. (3)依题意，＝(－2,2,0)．由(2)知n＝(1，－1,2)为平面DB1E的一个法向量，于是cos〈，n〉＝＝－. 所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为. 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求证：BD⊥平面ACFE； (2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小． 解析 (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE. 又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE， 所以BD⊥平面ACFE. (2)以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，过点O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0,2)，F(－1，0，a)(a＞0)，＝(－1,0，a)． 设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则n＝(－2,0,1)， 由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝＝＝， 解得a＝3或a＝－(舍去)， 所以＝(－1,0,3)． 因为＝(1，－，2)， 则cos〈，〉＝＝， 故异面直线OF与BE所成角的余弦值为. 5．(2021·新高考Ⅰ)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积． 解析 (1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点， 所以AO⊥BD. 因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD， 因为CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD. (2)如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别