考点04 数列的求和问题（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点04 数列的求和问题 数列的求和问题，是近几年高考的高频考点也是高考的重点，在近几年的高考中无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。例如：2020年天津高考[19]，2020年全国新课标Ⅰ、Ⅲ卷（理）[17],2021年天津高考[19]，2021年全国乙卷（文）[19]，2022年浙江高考[20]等都对数列的求和问题进行了考查。 〔1〕等差、等比数列的求和公式 （1）等差数列：①；②；③（其中）。 （2）等比数列：①②；③。 〔2〕常见的数列求和公式 ①； ②； ③。 〔3〕常见的裂项形式 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨。 例1．（2022·浙江·高考·20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 例2．（2021·天津·高考·19）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 1．（2022·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 2．（2022·湖南永州·一模）已知数列满足：，且. (1)若数列为等比数列，公比为，求的通项公式； (2)若数列为等差数列，，求的前项和. 3．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列各项均为正数，且 (1)求的通项公式； (2)设，求． 4．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式： (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值. 5．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式： (2)证明：. 6．（2022·湖南·雅礼中学一模）设数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的表达式． 7．（2022·广西·模拟预测（理））设数列的前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 8．（2022·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 9．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知数列满足：． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式． (2)若，证明：． 10．（2022·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 11．（2022·天津市武清区杨村第一中学模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求正整数的值； (3)记，求数列的前项和． 12．（2022·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 数列的求和问题 数列的求和问题，是近几年高考的高频考点也是高考的重点，在近几年的高考中无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。例如：2020年天津高考[19]，2020年全国新课标Ⅰ、Ⅲ卷（理）[17],2021年天津高考[19]，2021年全国乙卷（文）[19]，2022年浙江高考[20]等都对数列的求和问题进行了考查。 〔1〕等差、等比数列的求和公式 （1）等差数列：①；②；③（其中）。 （2）等比数列：①②；③。 〔2〕常见的数列求和公式 ①； ②； ③。 〔3〕常见的裂项形式 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨。 例1．（2022·浙江·高考·20）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 例2．（2021·天津·高考·19）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明