考点03 求数列的通项公式（高频考点分析+方法点拨+真题精练模拟）-备战2023年高考数学《解答题方法和题型》专项突破练习（新高考专用）

考点03 求数列的通项公式 数列的通项公式，是历年高考的高频考点，无论是全国卷（包括新高考）还是自主命题省份，都有考查。例如：2020年新高考全国卷Ⅱ[18]，2020年天津高考[18]，2020年新高考全国卷Ⅱ[17]，,2021年浙江高考[20]，2021年全国乙卷（理）[19]，2022年天津高考[18]，等都对三角函数的图像与性质及三角恒等变换进行了考查。 〔1〕公式法 借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列或等比数列的通项公式求解。 (1)常见的等差数列的通项公式：①；②；③(p，q为常数）。 (2)常见的等比数列的通项公式：①；②。 〔2〕退位相减(除)法 (1)退位相减法：适用于递推关系中同时含有与的形式(其中)，借助求数列的通项公式。 (2)退位相除法：适用于递推关系中同时含有与的形式(其中)，借助 求数列的通项公式。 注意：不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合在n≥2的条件下求出的通项公式，在首项不符合的条件下，书写通项公式时，注意分段表达. 〔3〕用累加法、累乘法求通项 (累加法)，(累乘法)。 〔4〕构造等差、等比数列求通项 (1)待定系数法 ①型：设(其中λ为待定系数)。 ②型：设(其中，为待定系数）。 (2)型：(同除法，系数化为1)其步骤如下： 将等式两边同时除以(或)，转化为，再令，，将原式转化为，结合累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式。 〔5〕取倒数法 一般适用于：，，。 (1)对于或型：通过对等式两边同时取倒数，再令，将原式转化为(s，t为常数)的类型.若s=1，直接借助等差数列的通项公式求解即可；若s≠1，结合前面的待定系数法求解即可。 (2)对于型：可以将等式两边同时除以，再令，将原式转化为(s，t为常数)的类型，进而可以求出的通项公式。 〔6〕取对数法 处理递推关系式时，可以将等式两边同时取常用对数，得，即，令，，可以得到，进而可以求出的通项公式，从而求出的通项公式。 例1．（2022·天津·高考·18）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 例2．（2021·全国·高考乙卷（理）·19）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 1．（2022·四川雅安·模拟预测（理））给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答． 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． (1)求的通项公式； (2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2022·湖南·模拟预测）已知单调递减的正项数列，时满足． 为前n项和． (1)求的通项公式； (2)证明：. 3．（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 4．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知数列各项都不为，且满足， (1)求的通项公式； (2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值． 5．（2022·山东淄博·三模）设为等差数列的前项和，已知，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 6．（2022·辽宁·沈阳二十中一模）已知数列满足：，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 7．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 8．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，． (1)求数列，的通项公式 (2)设，求数列的前项和． 9．（2022·浙江·三模）已知数列满足．数列是公差为q的等差数列，数列是公比为q的等比数列，． (1)若，求数列的通项公式； (2)若，证明：． 10．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知递增数列的前项和为，且，数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 11．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 12．（2022·天津·耀华中学二模）已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. (1)求和的通项