专题07 对数函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题07 对数函数 （一）对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 （二）反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型一 对数函数的概念 【典例1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的概念即得. 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 【典例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 【总结提升】 对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 题型二 对数函数的图象 【典例3】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 【典例4】（2023·广东·高三学业考试）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象和性质即得. 【详解】由对数函数性质知为增函数，故排除BD； 当时，，即函数过点，排除C. 故选：A． 【典例5】（2022·山西·高二学业考试）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解. 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 【典例6】（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）函数过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数恒过点，令，即得解. 【详解】由于函数恒过点，令，则，， 故函数恒过定点. 故选：C 【规律方法】 1. (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 2.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决． 3．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 题型三 对数函数的定义域 【典例7】（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 【典例8】（2020·北京·高考真题）函数的定义域是____________． 【答案】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【总结提升】 定义域是研究函