精品解析：广东省广州市第二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

高二级期中考《数学》试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线方程的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，为边上中线，为的中点，若，则实数对（ ） A. B. C. D. 5. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个近似扇形的湖面，其中，弧的长为.为了方便观光，欲在两点之间修建一条笔直的走廊.若当时，，扇形的面积记为，则的值约为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知实数、，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 设向量，，其中，则下列判断正确的是（ ） A. 向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关） B. 的最大值为 C. 与夹角的最大值为 D. 的最大值为1 11. 已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴的对称圆的方程为 B. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C. 若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D. 若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 12. 在平面直角坐标系中，圆：，曲线上存在四个点（，2，3，4），过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则的值可能为（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 直线与圆相交所得的弦长为______． 14. 已知，为单位向量．若，则在上的投影向量的模为______． 15. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的半径为______． 16. 在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示） 组别 分组 频数 频率 第1组 8 0.16 第2组 ■ 第3组 20 0.40 第4组 ■ 0.08 第5组 2 合计 ■ ■ 解决下列问题： （1）求，，，的值； （2）试估计受调查者满意度评分值的80%分位数； （3）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率． 18. 在如图所示的六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知中,角的对边分别为,,向量,,且. (Ⅰ)求的大小； (Ⅱ)当取得最大值时,求角的大小和的面积. 20. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面． （1）证明：； （2）若，，且二面角所成角的正切值是，试求该几何体的体积． 21. 圆：． （1）若圆与轴相切，求圆方程； （2）已知，圆与轴相交于两点、（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 22. 已知函数（且，）是偶函数． （1）求值； （2）对任意且，函数的图象与函数的图象都没有交点，求的值； （3）设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实