27.2.3 相似三角形应用举例-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件（人教版）

相似三角形应用举例 27.2.3 相似三角形应用举例 学习目标 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点) 27.2.3 相似三角形应用举例 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 27.2.3 相似三角形应用举例 讲授新课 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 27.2.3 相似三角形应用举例 4 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 27.2.3 相似三角形应用举例 5 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 27.2.3 相似三角形应用举例 A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 想一想： 27.2.3 相似三角形应用举例 测高方法二 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 27.2.3 相似三角形应用举例 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知 测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. P R Q S b T a 27.2.3 相似三角形应用举例 PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. P R Q S b T a ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 45m 90m 60m 27.2.3 相似三角形应用举例 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝80 m，D＝30 m，EC＝24 m，求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 27.2.3 相似三角形应用举例 解：∵ ∠ADB＝∠EDC，   ∠ABC＝∠ECD＝90°，   ∴ △ABD∽△ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大 致距离为 64 m. E A D C B 60m 50m 120m 27.2.3 相似三角形应用举例 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳： 27.2.3 相似三角形应用举例 例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 27.2.3 相似三角形应用举例 分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不